二叉树的遍历 详解及实现
在之前的博文中我们讲解了二叉树的使用——《哈夫曼压缩》，那么，我们对于二叉树的操作不仅仅局限于创造，二叉树是一种储存处理方式，但是，我们不能仅仅是存储数据，那么，我们今天就来讲解一下从二叉树中读取数据的方法及操作。
二叉树的遍历方式有三种：
1.先根序：根 、左子树、右子树
2.中根序：左子树、根 、右孩子
3.后根序：左子树、右子树、根
现在通过一个例子来为，我让大家清晰了解们这三种遍历方法：
对于这个二叉树来说：
先根序遍历结果：A B D F G J C E H I
中根序遍历结果：F D J G B A H E I C
后根序遍历结果：F J G D B H I E C A
现在我们来构造一个二叉树，然后对这个二叉树进行遍历操作：
首先，我们按照我们之前博文中一直有的惯例，上手先编写"mec.h"：
#ifndef _MEC_H_
#define _MEC_H_
typedef unsigned char boolean;
typedef boolean u8;
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define NOT_FOUND -1
#define SET(v, i) (v |= (1 << ((i) ^ 7)))
#define CLR(v, i) (v &= ~(1 << ((i) ^ 7)))
#define GET(v, i) (((v) & (1 << ((i) ^ 7))) != 0)
#endif
之后，我们再来构建二叉树“单节点”结构体：
typedef struct BTREE {
int data;
struct BTREE *left;
struct BTREE *right;
}BTREE;
那么，我们要构建二叉树，就要从键盘输入一个字符串，再读取字符串判断字符串输入是否合理，再根据正确的字符串构建二叉树。
而这里通过字符串构建二叉树就要用到我们之前的博文——《表达式的处理》以及《哈夫曼压缩》两篇博文中的知识了。
现在我们来规定下输入字符串的正确格式如下：
A(B,C)
A(B,)
A(,B)
A(B)
A(,)
A()
那么，要实现通过输入的字符串构建二叉树，就要通过字符串来画状态变迁图：
那么，根据状态变迁图，我们来用宏定义所有可能出现的状态：
#define BTREE_STATUS_BEGIN 1
#define BTREE_STATUS_END 2
#define BTREE_STATUS_ROOT 3
#define BTREE_STATUS_LEFT 4
#define BTREE_STATUS_RIGHT 5
#define BTREE_STATUS_COMMA 6
#define BTREE_STATUS_CHILD 7
现在我们来构建一个表示完整二叉树的结构体：
typedef struct BTREE_ARG {
int status; //这个成员表示当前节点的状态
int index; //这个成员表示遍历字符串时用的下标
boolean ok; //这个成员表示遍历到当前位置字符串表达是否正确
boolean finished; //这个成员用来表示字符串是否遍历到末尾
BTREE *root; //这个成员用来存储第一个节点的信息
BTREE *tmp; //这个成员用来表示当前的节点的信息
boolean whichChild; //这个成员用来表示当前节点为父节点的“左孩子”还是“右孩子”
MEC_STACK *nodeStack; //这个成员用来存储父节点的首地址
int breaketMatch; //这个成员用来表示括号是否匹配
}BTREE_ARG;
现在来编写一个宏表示“左孩子”还是“右孩子”，以满足上面结构体内whichChild成员的赋值：
#define LEFT_CHILD 0
#define RIGHT_CHILD 1
因为我们读取的字符串可能出现错误，所以我们采用《表达式的处理》那一篇博客中的处理方式——编写“mecErr.c”和“mecErr.h”:
mecErr.h:
#ifndef _MEC_ERROR_H_
#define _MEC_ERROR_H_
void showError();
#endif
mecErr.c:
#include <stdio.h>
#include "mecError.h"
const char *errMess; //这个变量在我们根据字符串构建二叉树中会用到
void showError() {
if (NULL == errMess) {
printf("No Error!\n");
return;
}
printf("Error:%s\n", errMess);
}
我们再来思考一下，因为我们要在遍历字符串遇到新的有效节点时访问它的父节点，以便使父节点的孩子指针指向新节点，所以，我们用到了堆栈的处理方法，因为我们在之前的博文中已经进行过讲解，所以，这里就直接将代码复制过来：
mecStack.h:
#ifndef _MEC_STACK_H_
#define _MEC_STACK_H_
#include "mec.h"
typedef struct MEC_STACK {
void **stack;
int capacity;
int top;
}MEC_STACK;
boolean initStack(MEC_STACK **stack, int capacity); //初始化堆栈 函数
void destoryStack(MEC_STACK **stack); //销毁堆栈 函数
boolean isStackEmpty(const MEC_STACK *stack); //判栈空 函数
boolean isStackFull(const MEC_STACK *stack); //判栈满 函数
boolean push(MEC_STACK *stack, void *data); //将数据入栈 函数
void *pop(MEC_STACK *stack); //将数据出栈 函数
void *readTop(const MEC_STACK *stack); //读取栈顶指针 函数
#endif
mecStack.c:
#include <stdio.h>
#include <malloc.h>
#include "mec.h"
#include "mecStack.h"
void *readTop(const MEC_STACK *stack) {
if (NULL == stack || isStackEmpty(stack)) {
return NULL;
}
return stack->stack[stack->top - 1];
}
void *pop(MEC_STACK *stack) {
if (NULL == stack || isStackEmpty(stack)) {
return NULL;
}
return stack->stack[--stack->top];
}
boolean push(MEC_STACK *stack, void *data) {
if (NULL == stack || isStackFull(stack)) {
return FALSE;
}
stack->stack[stack->top++] = data;
return TRUE;
}
boolean isStackFull(const MEC_STACK *stack) {
return stack != NULL && stack->top >= stack->capacity;
}
boolean isStackEmpty(const MEC_STACK *stack) {
return stack != NULL && stack->top <= 0;
}
void destoryStack(MEC_STACK **stack) {
if (NULL == stack || NULL == *stack) {
return;
}
free((*stack)->stack);
free(*stack);
*stack = NULL;
}
boolean initStack(MEC_STACK **stack, int capacity) {
MEC_STACK *res;
if (NULL == stack || NULL != *stack || capacity <= 0) {
return FALSE;
}
res = (MEC_STACK *) calloc(sizeof(MEC_STACK), 1);
res->stack = (void **) calloc(sizeof(void *), capacity);
res->capacity = capacity;
res->top = 0;
*stack = res;
return TRUE;
}
那么，大体我们都准备好了，我们现在来编写根据字符串构建二叉树的函数：
boolean createBTreeByString(const char *str, BTREE **btree) {
BTREE_ARG arg = {
BTREE_STATUS_BEGIN, // int status;
0, // int index;
TRUE, // boolean ok;
FALSE, // boolean finished;
NULL, // BTREE *root;
NULL, // BTREE *tmp;
LEFT_CHILD, // boolean whichChild;
NULL, // MEC_STACK *nodeStack;
0, // int breaketMatch;
};
if (NULL == btree || NULL != *btree) {
return FALSE;
}
initStack(&arg.nodeStack, strlen(str)); //这个初始化堆栈函数在上面编写的"mecStack.h"文件中声明
while (arg.ok && !arg.finished) {
arg.index += skipBlank(str + arg.index); //跳过字符串中空格函数，我们在下面内容中进行编写
if (BTREE_STATUS_BEGIN == arg.status) {
dealBtreeStatusBegin(str[arg.index], &arg); //处理开始状态函数，我们在下面内容中进行编写
} else if (BTREE_STATUS_END == arg.status) {
dealBtreeStatusEnd(&arg, btree); //处理结束状态函数，我们在下面内容中进行编写
} else if (BTREE_STATUS_LEFT == arg.status) {
dealBtreeStatusLeft(str[arg.index], &arg); //处理左括号状态函数，我们在下面内容中进行编写
} else if (BTREE_STATUS_ROOT == arg.status) {
dealBtreeStatusRoot(str[arg.index], &arg); //处理根节点状态函数，我们在下面内容中进行编写
} else if (BTREE_STATUS_COMMA == arg.status) {
dealBtreeStatusComma(str[arg.index], &arg); //处理小数点状态函数，我们在下面内容中进行编写
} else if (BTREE_STATUS_CHILD == arg.status) {
dealBtreeStatusChild(str[arg.index], &arg); //处理孩子状态函数，我们在下面内容中进行编写
} else if (BTREE_STATUS_RIGHT == arg.status) {
dealBtreeStatusRight(str[arg.index], &arg); //处理右括号状态函数，我们在下面内容中进行编写
}
}
if (FALSE == arg.ok) { // 要销毁生成了一半的二叉树中的节点！这就牵扯到二叉树的遍历了（这篇博文通过“后根序”方式实现）
destroyBtree(arg.root);
arg.root = NULL;
}
destoryStack(&arg.nodeStack); //销毁堆栈函数，在上面编写的"mecStack.h"文件中声明
return arg.ok;
}
那么，我们现在来编写处理各种状态的函数：
1.处理开始状态的函数：
void dealBtreeStatusBegin(int ch, BTREE_ARG *arg) {
if (isalpha(ch)) {
arg->root = arg->tmp = createOneNode(ch);
++arg->index;
arg->status = BTREE_STATUS_ROOT;
} else {
errMess = "出师未捷身先死";
arg->ok = FALSE;
}
}
2.处理结束状态函数：
void dealBtreeStatusEnd(BTREE_ARG *arg, BTREE **root) {
if (arg->breaketMatch != 0) { //因为我们等会遇到左括号会使这个变量加1，遇到右括号使这个变量减1，所以在结束时应该为0，而在我们处理右括号时会解决左括号缺失的问题，所以，这里只会是因为缺右括号
errMess = "括号不匹配之缺少右括号";
arg->ok = FALSE;
return;
}
*root = arg->root; //这里的赋值是为了等会在主函数中销毁整个二叉树
arg->finished = TRUE;
}
3.处理左括号状态函数：
void dealBtreeStatusLeft(int ch, BTREE_ARG *arg) {
if (isalpha(ch)) {
processAlpha(ch, arg); //处理字母函数，在之后代码中编写
} else if (',' == ch) {
processComma(arg); //处理逗号函数，在之后代码中编写
} else if (')' == ch) {
processRightBracket(arg); //处理右括号函数，在之后代码中编写
} else {
errMess ="非法字符!"
arg->ok = FALSE;
}
}
3.1.处理字母函数：
void processAlpha(int ch, BTREE_ARG *arg) {
BTREE *parent;
parent = (BTREE *) readTop(arg->nodeStack);
if (arg->whichChild == RIGHT_CHILD && parent->right != NULL) {
errMess = "孩子个数不满足要求！";
arg->ok = FALSE;
return;
}
arg->tmp = createOneNode(ch); //创造新节点函数，在之后代码中编写
if (LEFT_CHILD == arg->whichChild) {
parent->left = arg->tmp;
} else {
parent->right = arg->tmp;
}
++arg->index;
arg->status = BTREE_STATUS_CHILD;
}
3.1.1.创造新节点函数：
BTREE *createOneNode(int ch) {
BTREE *res = calloc(sizeof(BTREE), 1);
res->data = ch;
res->left = res->right = NULL;
return res;
}
3.2.处理逗号函数：
void processComma(BTREE_ARG *arg) {
arg->whichChild = RIGHT_CHILD;
++arg->index;
arg->status = BTREE_STATUS_COMMA;
}
3.3.处理右括号函数：
void processRightBracket(BTREE_ARG *arg) {
if (--arg->breaketMatch < 0) {
errMess = "括号不匹配之缺少左括号!";
arg->ok = FALSE;
return;
}
pop(arg->nodeStack);
++arg->index;
arg->status = BTREE_STATUS_RIGHT;
}
4.处理根节点状态函数：
void dealBtreeStatusRoot(int ch, BTREE_ARG *arg) {
if ('(' == ch) {
processLeftBracket(arg); //处理左括号函数，在之后代码中编写
} else if (0 == ch) {
arg->status = BTREE_STATUS_END;
} else {
errMess = "非法字符!";
arg->ok = FALSE;
}
}
4.1.处理左括号函数：
void processLeftBracket(BTREE_ARG *arg) {
arg->breaketMatch++;
push(arg->nodeStack, arg->tmp);
arg->whichChild = LEFT_CHILD;
++arg->index;
arg->status = BTREE_STATUS_LEFT;
}
5.处理小数点状态函数：
void dealBtreeStatusComma(int ch, BTREE_ARG *arg) {
if (isalpha(ch)) {
processAlpha(ch, arg);
} else if (')' == ch) {
processRightBracket(arg);
} else {
errMess = "非法字符!";
arg->ok = FALSE;
}
}
6.处理孩子状态函数：
void dealBtreeStatusChild(int ch, BTREE_ARG *arg) {
if ('(' == ch) {
processLeftBracket(arg);
} else if (')' == ch) {
processRightBracket(arg);
} else if (',' == ch) {
processComma(arg);
} else {
errMess = "非法字符!";
arg->ok = FALSE;
}
}
7.处理右括号状态函数：
void dealBtreeStatusRight(int ch, BTREE_ARG *arg) {
if (',' == ch) {
processComma(arg);
} else if (')' == ch) {
processRightBracket(arg);
} else if (0 == ch) {
arg->status = BTREE_STATUS_END;
} else {
errMess = "非法字符!";
arg->ok = FALSE;
}
}
8.跳过字符串中空格函数：
int skipBlank(const char *str) {
int index;
for (index = 0; str[index] && isspace(str[index]); index++) {
;
}
return index;
}
那么，到目前位置，我们通过字符串构建二叉树的操作已经基本完成了，因为我们接下来的销毁不完整二叉树（字符串中间错误，构造了一半二叉树）和展示二叉树各节点储存的数值，就需要我们遍历二叉树，那么，现在我们来编写今天的主要讲解的内容——二叉树的遍历问题：
在上面我们将结果二叉树的遍历一共右三种最基本的形式：
先根序、中根序、后根序
那么，在编写展示二叉树各节点存储的信息时，我们将这三种方法都来实现一遍：
1.（先根序版）展示函数：
void travelFirstRoot(const BTREE *root) {
if (NULL == root) {
return;
}
printf("%c ", root->data);
travelFirstRoot(root->left);
travelFirstRoot(root->right);
}
2.（中根序版）展示函数：
void travelMiddleRoot(const BTREE *root) {
if (NULL == root) {
return;
}
travelMiddleRoot(root->left);
printf("%c ", root->data);
travelMiddleRoot(root->right);
}
3.（后根序版）展示函数：
void travelLastRoot(const BTREE *root) {
if (NULL == root) {
return;
}
travelLastRoot(root->left);
travelLastRoot(root->right);
printf("%c ", root->data);
}
以上的递归，可能有的同学觉得看不明白，这就需要同学们自己动手来跟着代码实现一遍，这样，就会更深一步理解这里递归函数的妙处了。
那么，在完成了一切操作之后，我们一定要记得销毁二叉树，否则会造成“内存泄漏”，浪费计算机内存！
现在来编写销毁二叉树函数：
void destroyBtree(BTREE *root) {
if (NULL == root) { //当根节点首地址为NULL时，则在上一次递归中完成了对叶子节点的释放（对于叶子节点知识不清楚的，请观看本人博文——《哈夫曼压缩》）
return;
}
destroyBtree(root->left);
destroyBtree(root->right);
free(root);
}
那么，现在我们来总结一下我们今天所编写的工具函数：
btree.h:
#ifndef _MEC_B_TREE_H_
#define _MEC_B_TREE_H_
#include "mec.h"
typedef struct BTREE {
int data;
struct BTREE *left;
struct BTREE *right;
}BTREE;
#define BTREE_STATUS_BEGIN 1
#define BTREE_STATUS_END 2
#define BTREE_STATUS_ROOT 3
#define BTREE_STATUS_LEFT 4
#define BTREE_STATUS_RIGHT 5
#define BTREE_STATUS_COMMA 6
#define BTREE_STATUS_CHILD 7
boolean createBTreeByString(const char *str, BTREE **btree);
void travelFirstRoot(const BTREE *root);
void travelMiddleRoot(const BTREE *root);
void travelLastRoot(const BTREE *root);
void destroyBtree(BTREE *root);
#endif
btree.c:
#include <stdio.h>
#include <ctype.h>
#include <string.h>
#include <malloc.h>
#include "mec.h"
#include "btree.h"
#include "mecStack.h"
#include "mecError.h"
void destroyBtree(BTREE *root) {
if (NULL == root) {
return;
}
destroyBtree(root->left);
destroyBtree(root->right);
free(root);
}
void travelLastRoot(const BTREE *root) {
if (NULL == root) {
return;
}
travelLastRoot(root->left);
travelLastRoot(root->right);
printf("%c ", root->data);
}
void travelMiddleRoot(const BTREE *root) {
if (NULL == root) {
return;
}
travelMiddleRoot(root->left);
printf("%c ", root->data);
travelMiddleRoot(root->right);
}
void travelFirstRoot(const BTREE *root) {
if (NULL == root) {
return;
}
printf("%c ", root->data);
travelFirstRoot(root->left);
travelFirstRoot(root->right);
}
typedef struct BTREE_ARG {
int status;
int index;
boolean ok;
boolean finished;
BTREE *root;
BTREE *tmp;
boolean whichChild;
MEC_STACK *nodeStack;
int breaketMatch;
}BTREE_ARG;
#define LEFT_CHILD 0
#define RIGHT_CHILD 1
extern const char *errMess; //这里extern表示是外部文件变量
static int skipBlank(const char *str);
static void dealBtreeStatusBegin(int ch, BTREE_ARG *arg);
static void dealBtreeStatusEnd(BTREE_ARG *arg, BTREE **root);
static void dealBtreeStatusLeft(int ch, BTREE_ARG *arg);
static void dealBtreeStatusRoot(int ch, BTREE_ARG *arg);
static void dealBtreeStatusComma(int ch, BTREE_ARG *arg);
static void dealBtreeStatusChild(int ch, BTREE_ARG *arg);
static void dealBtreeStatusRight(int ch, BTREE_ARG *arg);
static BTREE *createOneNode(int ch);
static void processAlpha(int ch, BTREE_ARG *arg);
static void processLeftBracket(BTREE_ARG *arg);
static void processRightBracket(BTREE_ARG *arg);
static void processComma(BTREE_ARG *arg);
static void processComma(BTREE_ARG *arg) {
arg->whichChild = RIGHT_CHILD;
++arg->index;
arg->status = BTREE_STATUS_COMMA;
}
static void processRightBracket(BTREE_ARG *arg) {
if (--arg->breaketMatch < 0) {
errMess = "括号不匹配之缺少左括号!";
arg->ok = FALSE;
return;
}
pop(arg->nodeStack);
++arg->index;
arg->status = BTREE_STATUS_RIGHT;
}
static void processLeftBracket(BTREE_ARG *arg) {
arg->breaketMatch++;
push(arg->nodeStack, arg->tmp);
arg->whichChild = LEFT_CHILD;
++arg->index;
arg->status = BTREE_STATUS_LEFT;
}
static void processAlpha(int ch, BTREE_ARG *arg) {
BTREE *parent;
parent = (BTREE *) readTop(arg->nodeStack);
if (arg->whichChild == RIGHT_CHILD && parent->right != NULL) {
errMess = "孩子个数不满足要求！";
arg->ok = FALSE;
return;
}
arg->tmp = createOneNode(ch);
if (LEFT_CHILD == arg->whichChild) {
parent->left = arg->tmp;
} else {
parent->right = arg->tmp;
}
++arg->index;
arg->status = BTREE_STATUS_CHILD;
}
static BTREE *createOneNode(int ch) {
BTREE *res = calloc(sizeof(BTREE), 1);
res->data = ch;
res->left = res->right = NULL;
return res;
}
static void dealBtreeStatusRight(int ch, BTREE_ARG *arg) {
if (',' == ch) {
processComma(arg);
} else if (')' == ch) {
processRightBracket(arg);
} else if (0 == ch) {
arg->status = BTREE_STATUS_END;
} else {
errMess = "非法字符!";
arg->ok = FALSE;
}
}
static void dealBtreeStatusChild(int ch, BTREE_ARG *arg) {
if ('(' == ch) {
processLeftBracket(arg);
} else if (')' == ch) {
processRightBracket(arg);
} else if (',' == ch) {
processComma(arg);
} else {
errMess = "非法字符!";
arg->ok = FALSE;
}
}
static void dealBtreeStatusComma(int ch, BTREE_ARG *arg) {
if (isalpha(ch)) {
processAlpha(ch, arg);
} else if (')' == ch) {
processRightBracket(arg);
} else {
errMess = "非法字符!";
arg->ok = FALSE;
}
}
static void dealBtreeStatusRoot(int ch, BTREE_ARG *arg) {
if ('(' == ch) {
processLeftBracket(arg);
} else if (0 == ch) {
arg->status = BTREE_STATUS_END;
} else {
errMess = "非法字符!";
arg->ok = FALSE;
}
}
static void dealBtreeStatusLeft(int ch, BTREE_ARG *arg) {
if (isalpha(ch)) {
processAlpha(ch, arg);
} else if (',' == ch) {
processComma(arg);
} else if (')' == ch) {
processRightBracket(arg);
} else {
errMess = "非法字符!";
arg->ok = FALSE;
}
}
static void dealBtreeStatusEnd(BTREE_ARG *arg, BTREE **root) {
if (arg->breaketMatch != 0) {
errMess = "括号不匹配之缺少右括号";
arg->ok = FALSE;
return;
}
*root = arg->root;
arg->finished = TRUE;
}
static void dealBtreeStatusBegin(int ch, BTREE_ARG *arg) {
if (isalpha(ch)) {
arg->root = arg->tmp = createOneNode(ch);
++arg->index;
arg->status = BTREE_STATUS_ROOT;
} else {
errMess = "出师未捷身先死!";
arg->ok = FALSE;
}
}
boolean createBTreeByString(const char *str, BTREE **btree) {
BTREE_ARG arg = {
BTREE_STATUS_BEGIN, // int status;
0, // int index;
TRUE, // boolean ok;
FALSE, // boolean finished;
NULL, // BTREE *root;
NULL, // BTREE *tmp;
LEFT_CHILD, // boolean whichChild;
NULL, // MEC_STACK *nodeStack;
0, // int breaketMatch;
};
if (NULL == btree || NULL != *btree) {
return FALSE;
}
initStack(&arg.nodeStack, strlen(str));
while (arg.ok && !arg.finished) {
arg.index += skipBlank(str + arg.index);
if (BTREE_STATUS_BEGIN == arg.status) {
dealBtreeStatusBegin(str[arg.index], &arg);
} else if (BTREE_STATUS_END == arg.status) {
dealBtreeStatusEnd(&arg, btree);
} else if (BTREE_STATUS_LEFT == arg.status) {
dealBtreeStatusLeft(str[arg.index], &arg);
} else if (BTREE_STATUS_ROOT == arg.status) {
dealBtreeStatusRoot(str[arg.index], &arg);
} else if (BTREE_STATUS_COMMA == arg.status) {
dealBtreeStatusComma(str[arg.index], &arg);
} else if (BTREE_STATUS_CHILD == arg.status) {
dealBtreeStatusChild(str[arg.index], &arg);
} else if (BTREE_STATUS_RIGHT == arg.status) {
dealBtreeStatusRight(str[arg.index], &arg);
}
}
if (FALSE == arg.ok) { // 要销毁生成了一半的二叉树中的节点！
destroyBtree(arg.root);
arg.root = NULL;
}
destoryStack(&arg.nodeStack);
return arg.ok;
}
static int skipBlank(const char *str) {
int index;
for (index = 0; str[index] && isspace(str[index]); index++) {
;
}
return index;
}
这里对上面函数的放置和声明做一些解释，因为我们提供的函数只是.h文件中那5个，剩下我们编写的函数都是为了辅助那5个函数编写而编写的，并且我们不希望那些函数被用户使用，所以我们将那些函数的声明放在了.c文件中，并且在那些函数的声明以及编写时在前面加上static修饰，表示仅在该文件中能够被使用。
作为数据结构与算法的最后几篇博文，希望能在这个时候让大家明白我们所编写的工具函数所在的.以及.h文件该怎样规划。
那么，工具函数文件我们都已经准备妥当了，现在来编写一个.c文件来调用这些工具函数来展示下使用方法吧：
demoBtree.c：
#include <stdio.h>
#include "mec.h"
#include "mecError.h"
#include "btree.h"
int main() {
BTREE *root = NULL;
char str[80];
boolean ok;
printf("请输入二叉树字符串:");
gets(str);
ok = createBTreeByString(str, &root);
if (FALSE == ok) {
showError();
return -1;
}
printf("先根序遍历结果:\n");
travelFirstRoot(root);
printf("\n中根序遍历结果:\n");
travelMiddleRoot(root);
printf("\n后根序遍历结果:\n");
travelLastRoot(root);
printf("\n");
destroyBtree(root);
root = NULL; //完全用完的指针赋值为NULL是一个好习惯，这点在今后的学习中会体现到
return 0;
}
这次的代码还是需要通过命令行窗口或者虚拟机进行多文件联编，才能实现。
而且这次的代码与以往勾连过深，希望观看或者学习本篇博文的同学能够耐下性子先观看本人《堆栈的实现》以及《表达式的处理》两篇博文
那么，这一节的知识就到此为止了，希望同学们对于二叉树的理解能更深一步。
