详解 位运算

前言:在之前的博客《哥德巴赫猜想的验证》中，我们用到了位运算，极大地降低了运行时间，提高了运行效率，那么，在这篇博客中，我们就来介绍一下位运算的基本内容，以及《歌德巴赫猜想》中所用到的函数的原理吧。
首先，我来引用一下位运算的定义：

程序中的所有数在计算机内存中都是以二进制的形式储存的。位运算就是直接对整数在内存中的二进制位进行操作。

在这句话中，我们要注意的是：
1.必须站在位的角度考虑运算，必须用二进制角度考虑运算；
2.要特别注意补码

那么，顾名思义，它是一类运算，那么，我来介绍一下它的运算符：
1.按位与（&）：
相同位的两个数字都为1，则为1；若有一个不为1，则为0。（全1为1，遇0则0）
即：01010010 & 10100011 的结果是 ： 00000010
按位与运算 主要用来取位操作，例如：假设要取一个8位二进制数最后一位，就让这个数和 00000001 按位与操作，这样一来，只需看结果最后一位为多少，那个8位二进制数的最后一位就为多少

2.按位或（|） ：
相同位只要一个为1即为1。（遇1则1，全0为0）
即：01010010 | 10100011 的结果是 ： 11110011
按位或运算 主要用于二进制特定位上的无条件赋值，例如：假如要求将一个8位二进制数的第一位赋值为1，就让这个数和 10000000 按位或操作，这样得到的结果的二进制数的第一位一定是1

3.按位异或（^） ：
操作的结果是如果某位不同则该位为1, 否则该位为0。（相同位0 ，不同为1）
即：01010010 ^ 10100011 的结果是 ： 11110101
按位异或运算 主要用于数字的简单加密，这用到了它的性质： ^ 的逆运算是它本身，例如：对于 01010010 进行加密，我将密钥设置为 10100011，那么，得到的加密结果是 11110101，于是，想要知道被加密对象，就需要加密结果和密钥进行一次异或运算，即：11110101 ^ 10100011就可以得到被加密对象：01010010

4.按位取反（~） ：
把被操作数的0和1全部取反。（颠倒黑白）
即：~ 01010010 的结果是 ： 10101101
这里要注意的是处理无符号数和有符号数是有差别的，但是转换到二进制再进行操作的话结果就会很直观，所以，上面注意中的两句话还是很重要的！

5.左移（<<） ：
将二进制下操作数，各位向左移动指定数目位，后面补0.（num << n,相当于num/（2的n次方））
即：01010010 << 1 的结果是 10100100

6.右移 （>>） ：
右移可以分为两类，即：带符号右移，无符号右移。但是无符号右移仅存在于JAVA编译系统中。
这另类右移运算有所差异：（num >> n,相当于num*（2的n次方））
对于有符号数，符号位保留，其余位右移；
对于无符号数，所有位右移，前面补0

下图是位运算运算符的优先级表（从1到6，优先级依次降低）：

以上，就是目前为止所有位运算的运算符以及主要用途。

那么，接下来，我就来介绍下《哥德巴赫猜想》中所用到的函数的基本原理：

第一个，置“1”函数（宏）：
功能：将数 v 的从右往左数第 i 位置为 1
我们要置第 i 位为 1 ，其实是将 v 与 1 << ((i) ^ 7) 或运算，所以，得出以下宏：

#define SET(v, i) (v |= (1 << ((i) ^ 7)))

第二个，置“0”函数（宏）：
功能：将数 v 的从左往右数第 i 位置为 0
我们要置第 i 位为 0 ，其实是将 v 与 ~(1 << ((i) ^ 7)) 或运算，所以，得出以下宏：

#define CLR(v, i) (v &= ~(1 << ((i) ^ 7)))

第三个，取数函数（宏）：
功能：将指定位的数取出
这个宏就用到了上面提到的 & 的主要用途，所以，可以写成以下代码：

#define GET（v, i）((v) & (1 << ((i) ^ 7)))