数论知识点总结

\(1.gcd\)（最大公约数）

对于给出的两个数\(a,b\)，我们可以用欧几里得算法来计算最大公约数。欧几里得算法的精髓就在于下面这个公式：
\(gcd(a,b)=gcd(b,a\)%\(b)\)

证明：
已知：\(gcd(a,b)|a\)并且\(gcd(a,b)|b\),设\(a\)%\(b=r\),则\(a=r+kb\),故\(r=a-kb\),根据同余关系可得：\(r\)%\(gcd(a,b)=0\),因此\(gcd(a,b)=gcd(b,a\)%\(b)\)

code：

int gcd(int a,int b){
    return b?gcd(b,a%b):a
}

\(2.exgcd\)（扩展欧几里得算法）

扩展欧几里得算法是用于求解\(ax+by=gcd(a,b)\)的一组解的算法。
根据欧几里得算法我们可知：\(gcd(a,b)=gcd(b,a\)%\(b)\)
我们假设\(x1,y1\)是满足条件的一组解

那么\(ax1+by1=gcd(a,b)\)

而\(gcd(a,b)=gcd(b,a\)%\(b)\)

故\(ax1+by1=bx2+a\)%\(by2\)

而\(a\)%\(b=a-a/b\ast b\)

因而\(ax1+by1=bx2+ay2-a/b\ast by2=ay2+b*(x2- a/b\ast y2)\)

那么我们就得到了一组合法的\(x1,y1\)的解：

\(x1=y2,y1=x2-a/b\ast y2\)

也就是我们递归下去即可。当\(b=0\)的时候我们就可以发现\(x=1,y=0\)是合法的

这是我们再返回\(x=1,y=0\)。最后就一直会回溯下去，得到我们的\(x1,y1\)

void exgcd(int a,int b){
    if(!b){
        x=1,y=0;
        return ;
    }
    exgcd(b,a%b)
    int temp=x;
    x=y;y=temp-a/b*x;
}

但是如果要求\(ax+by=gcd(a,b)\)的最小整数解的时候，我们就要对\(x\)批量的加上\(b\)的倍数，但是这不会影响最终的结果。

因为\(ax+by+kab-kab=a(x+kb)+b*(y-ka)\)，这样依旧是合法的。

因此我们直接让\(x=(x\)%\(b+b)\)%\(b\)即为最终的答案。

\(3.\)逆元

对于\(a\)和\(m\)，如果\(ax\equiv1(modm)\),那么称\(x\)是\(a\)在\(m\)下的逆元。

那么我们该怎么求解逆元呢？我们将逆元的等式转化一下:
\(ax+my=1\)

由于\(ax+my=k\)有解当且仅当\(k\)%\(gcd(a,m)=0\)的时候有解，说明\(gcd(a,m)=1\)

那么我们直接用扩展欧几里得求解即可。

int x,y;
void exgcd(int a,int b){
    if(!b){
        x=1,y=0;
        return ;
    }
    exgcd(b,a%b)
    int temp=x;
    x=y;y=temp-a/b*x;
}
int inv(int a,int m){//a在m下的逆元
    exgcd(a,m);
    return (x%m+m)%m;
}

逆元一般是用在除法取模上面，如\((a/b)\)%\(m\)即为\(a\)%\(m\ast inv(b,m)\)

\(4.\)埃拉托斯特尼筛法

埃拉托斯特尼筛法是一个复杂度为\(nlnnlnn\)的筛法。
当选中一个数为素数的时候，就把以这个数为因子的数全部筛掉即可。

const int N=1e6+100;
vector<int> pr;
bool vis[N];
void seive(){
	vis[0]=vis[1]=1;
	for(int i=2;i<=N-10;i++){
		if(!vis[i]){
			pr.push_back(i);
			for(int j=2*i;j<=N-10;j+=i) vis[j]=1;
		}
	}
} 

\(5.\)费马小定理

假设\(a\)是一个整数，\(p\)是一个质数，那么\(a^p-a\)是\(p\)的倍数

即\(a^p\equiv a(modp)\),如果\(a\)不是\(p\)的倍数，这个定理也可以写成:

\(a^{p-1}\equiv1(modp)\)

\(6.\)线性同余方程求解

形如\(ax\equiv b(modm)\)即为线性同余方程。
将线性同余方程变形后即可得到：

\(ax+my=b\)
只有当\(b\)%\(gcd(a,m)=0\)时该方程才有解。
我们先利用扩展欧几里得算法求出

\(ax+my=gcd(a,m)\)的一组解\((x0,y0)\),那么\(x=x0*(b/gcd(a,m))\)%\(m\)
即为原方程的一组解。

\(7.\)欧拉函数

欧拉函数即为小于\(n\)的数中与\(n\)互质的数的个数
比如\(\varphi(8)=4\)
欧拉函数的通式为:

\(\varphi(x)=x(1-\frac{1}{p1})(1-\frac{1}{p2})...(1-\frac{1}{pn})\)

其中\(p1,p2,...pn\)为\(x\)的质因数。