【BZOJ4176】 Lucas的数论

Description

去年的Lucas非常喜欢数论题，但是一年以后的Lucas却不那么喜欢了。

在整理以前的试题时，发现了这样一道题目“求Sigma(f(i)),其中1<=i<=N”，其中 表示i的约数个数。他现在长大了，题目也变难了。

求如下表达式的值：

 

其中 表示ij的约数个数。

他发现答案有点大，只需要输出模1000000007的值。

Input

第一行一个整数n。

Output

 一行一个整数ans，表示答案模1000000007的值。

Sample Input

2

Sample Output

8

HINT

 

 对于100%的数据n <= 10^9。

 

Solution

因为直接用编辑器打公式比较麻烦且丑，就用markdown截图完传图片了= =b。

Code

#include <cstdio>
#include <cmath>

#define R register
const int mod = 1e9 + 7;
#define maxn 1500010
int miu[maxn], smiu[maxn], pr[maxn / 10], prcnt, lim, N;
bool vis[maxn];
int hash[maxn];
bool vihash[50000];
int Miu(R int n)
{
    if (n <= lim) return smiu[n];
    if (vihash[N / n]) return hash[N / n];
    
    vihash[N / n] = 1;
    R int ret = 1;
    for (R int i = 2, j; i <= n; i = j + 1)
    {
        j = n / (n / i);
        (ret += mod - 1ll * (j - i + 1) * Miu(n / i) % mod) %= mod;
    }
    return hash[N / n] = ret;
}
inline int sumf(R int n)
{
    R int ret = 0;
    for (R int i = 1, j; i <= n; i = j + 1)
    {
        j = n / (n / i);
        ret = (ret + 1ll * (j - i + 1) * (n / i)) % mod;
    }
    return ret;
}
int main()
{
    scanf("%d", &N);
    lim = (int) pow(N * 1.0, 0.666);
//    printf("%d\n", lim);
    miu[1] = smiu[1] = 1;
    for (R int i = 2; i <= lim; ++i)
    {
        if (!vis[i]) pr[++prcnt] = i, miu[i] = -1;
        smiu[i] = (smiu[i - 1] + miu[i]) % mod;
        for (R int j = 1; j <= prcnt && 1ll * i * pr[j] <= lim; ++j)
        {
            vis[i * pr[j]] = 1;
            if (i % pr[j]) miu[i * pr[j]] = -miu[i];
            else
            {
                miu[i * pr[j]] = 0;
                break;
            }
        }
    }
    R int ans = 0, last = 0;
    for (R int i = 1, j; i <= N; i = j + 1)
    {
        j = N / (N / i);
        R int Ph = Miu(j);
        R int fs = sumf(N / i);
//        printf("l = %d r = %d %d %d\n", i, j, Ph, fs);
        ans = (ans + 1ll * (Ph - last + mod) * fs % mod * fs) % mod;
        last = Ph;
    }
//    printf("%d\n", last);
    printf("%d\n", ans % mod);
    return 0;
}