【UOJ#129】 【NOI2015】寿司晚宴

题目描述

为了庆祝 NOI 的成功开幕，主办方为大家准备了一场寿司晚宴。小 G 和小 W 作为参加 NOI 的选手，也被邀请参加了寿司晚宴。

在晚宴上，主办方为大家提供了 n−1 种不同的寿司，编号 1,2,3,…,n−1，其中第 i 种寿司的美味度为 i+1 （即寿司的美味度为从 2 到 n）。

现在小 G 和小 W 希望每人选一些寿司种类来品尝，他们规定一种品尝方案为不和谐的当且仅当：小 G 品尝的寿司种类中存在一种美味度为 x 的寿司，小 W 品尝的寿司中存在一种美味度为 y 的寿司，而 x 与 y 不互质。

现在小 G 和小 W 希望统计一共有多少种和谐的品尝寿司的方案（对给定的正整数 p 取模）。注意一个人可以不吃任何寿司。

输入格式

输入文件的第 1 行包含 2 个正整数 n,p，中间用单个空格隔开，表示共有 n 种寿司，最终和谐的方案数要对 p 取模。

输出格式

输出一行包含 1 个整数，表示所求的方案模 p 的结果。

题解

注意到所有和谐的方案，两人的质数集合一定是不相交的。

对于所有大于根号的质数，不存在一个数同时包含两个这样的数。打个比方，假如n是100，那么我们在考虑17的时候，就不需要考虑11,13有没有取。而小于根号的质数就不具备有这个性质。所以对于大于根号的质数是一个分层的关系，层与层之间是无后效性的，所以我们可以分层来DP。

计f[i][A][B]表示在第i层里一个人集合为A，另一个人集合为B的方案。然后枚举子集、前缀和转移一下就好了。

代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>

#define R register
#define maxn 510
int pr[maxn], prcnt, mp[maxn], r[maxn];
int f[maxn][256][256][2], g[maxn][256][256], tf[256][256][2];
bool vis[maxn];
inline bool cmp(R int a, R int b)
{
    return mp[a] < mp[b];
}
int main()
{
    R int n, p; scanf("%d%d", &n, &p);
    for (R int i = 2; i <= n; ++i)
    {
        r[i] = i;
        if (!vis[i]) pr[++prcnt] = mp[i] = i;
        for (R int j = 1; j <= prcnt && i * pr[j] <= n; ++j)
        {
            vis[i * pr[j]] = 1;
            mp[i * pr[j]] = mp[i];
            if (i % pr[j] == 0) break;
        }
    }
    std::sort(r + 2, r + n + 1, cmp);
    R int tot = 0;
    g[0][0][0] = 1 % p;
    for (R int i = 2; i <= n; ++i)
    {
        R int x = r[i], tS = 0;
        if (mp[x] < 20 || mp[r[i]] != mp[r[i - 1]]) ++tot;
//        printf("%d %d %d %d\n", i, r[i], mp[r[i]], tot);
        for (R int j = 1; j <= prcnt && pr[j] < 20; ++j)
            if (x % pr[j] == 0) tS |= 1 << (j - 1);

        memcpy(tf, f[tot], sizeof (tf));
        for (R int A = 0; A < 256; ++A)
        {
            R int mB = ~A & 255;
            for (R int B = mB; B; B = (B - 1) & mB)
                if (!(B & tS))
                    (f[tot][A | tS][B][0] += (g[tot - 1][A][B] + tf[A][B][0]) % p) %= p,
                    (f[tot][B][A | tS][1] += (g[tot - 1][B][A] + tf[B][A][1]) % p) %= p;
                    (f[tot][A | tS][0][0] += (g[tot - 1][A][0] + tf[A][0][0]) % p) %= p;
                    (f[tot][0][A | tS][1] += (g[tot - 1][0][A] + tf[0][A][1]) % p) %= p;
        }
        
        for (R int A = 0; A < 256; ++A)
        {
            R int mB = ~A & 255;
            for (R int B = mB; B; B = (B - 1) & mB)
                g[tot][A][B] = (g[tot - 1][A][B] + (f[tot][A][B][0] + f[tot][A][B][1]) % p) % p;
                g[tot][A][0] = (g[tot - 1][A][0] + (f[tot][A][0][0] + f[tot][A][0][1]) % p) % p;
        }
    }
    R int ans = 0;
    for (R int A = 0; A < 256; ++A)
    {
        R int mB = ~A & 255;
        for (R int B = mB; B; B = (B - 1) & mB)
            (ans += g[tot][A][B]) %= p;
            (ans += g[tot][A][0]) %= p;
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}