【学习心得】Link-cut Tree

Link-cut Tree是一种支持改变树（森林）的形态（link和cut），同时维护树的路径上节点信息的数据结构。lct通过splay来维护每次的perferred path，说白了就是一个动态的树链剖分。splay的左右儿子分别代表preferred path上深度比它小和深度比它大的节点。

Link-cut Tree需要支持以下的操作：

1.access(x): 将节点x连接到perferred path上，返回值是一个节点，如果这是第一次access，则返回根节点，如果之前还access其他节点，则返回lca(last, x)。
2.makeroot(x): 将x这个节点作为根，也就是换根操作。
3.link(x,y): 连接x和y所在的子树。
4.cut(x,y): 将x和y之间的边删除。

我们先来看看access操作，借用Yang Zhe大神论文里的一张图来对access操作有一个形象的理解：

这一次access过后，从N到根的路径都变成了perferred path。

然后我们再来看看makeroot操作，我们单次makeroot操作就是把需要作为根的节点access，然后splay再到顶端，再通过给这个节点打上rev标记来将左右儿子交换。（不理解的可以画一张图理解一下。）
这下有了makeroot也有了access，就很容易地处理出一条链上的信息了，link就只要makeroot(a),fa[a]=b就好了，cut只要makeroot(a),access(b),splay(a),ch[a][0]=fa[b]=0就能解决。

参考模板：

//
//  Title : LCT(change root)
//  Date : 03.05.2016
//  Test : BZOJ-2049
//  Complexity : O(mlogn)
//  
/*
    对于有link和cut操作维护树上的信息等问题——
    解决办法：link-cut tree
*/
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>

#ifdef WIN32
    #define LL "%I64d"
#else
    #define LL "%lld"
#endif

#ifdef CT
    #define debug(...) printf(__VA_ARGS__)
    #define setfile() 
#else
    #define debug(...)
    #define filename ""
    #define setfile() freopen(filename".in", "r", stdin); freopen(filename".out", "w", stdout);
#endif

#define R register
#define getc() (S == T && (T = (S = B) + fread(B, 1, 1 << 15, stdin), S == T) ? EOF : *S++)
#define dmax(_a, _b) ((_a) > (_b) ? (_a) : (_b))
#define dmin(_a, _b) ((_a) < (_b) ? (_a) : (_b))
#define cmax(_a, _b) (_a < (_b) ? _a = (_b) : 0)
#define cmin(_a, _b) (_a > (_b) ? _a = (_b) : 0)
char B[1 << 15], *S = B, *T = B;
inline int FastIn()
{
    R char ch; R int cnt = 0; R bool minus = 0;
    while (ch = getc(), (ch < '0' || ch > '9') && ch != '-') ;
    ch == '-' ? minus = 1 : cnt = ch - '0';
    while (ch = getc(), ch >= '0' && ch <= '9') cnt = cnt * 10 + ch - '0';
    return minus ? -cnt : cnt;
}
#define maxn 200010
int n, m;
struct Node *null;
struct Node
{
    bool rev;
    Node *ch[2], *fa;
    inline bool type()
    {
        return fa -> ch[1] == this;
    }
    inline bool check()
    {
        return this == fa -> ch[type()];
    }
    inline void set_rev()
    {
        std::swap(ch[0], ch[1]);
        rev ^= 1;
    }
    inline void pushdown()
    {
        if (rev)
        {
            ch[0] -> set_rev();
            ch[1] -> set_rev();
            rev = 0;
        }
    }
    void pushdownall()
    {
        if (check())
            fa -> pushdownall();
        pushdown();
    }
    inline void rotate()
    {
        R Node *f = fa;
        R bool d = type();
        (fa = f -> fa), f -> check() ? fa -> ch[f -> type()] = this : 0;
        (f -> ch[d] = ch[!d]) != null ? ch[!d] -> fa = f : 0;
        (ch[!d] = f) -> fa = this;
    }
    inline void splay(R bool need = 1)
    {
        if (need) pushdownall();
        for (; check(); rotate())
            if (fa -> check())
                (type() != fa -> type() ? this : fa) -> rotate();
    }
    inline Node *access()
    {
        R Node *i = this, *j = null;
        for (; i != null; i = (j = i) -> fa)
        {
            i -> splay();
            i -> ch[1] = j;
        }
        return j;
    }
    inline void make_root()
    {
        access();
        splay(0);
        set_rev();
    }
    inline void link(R Node *that)
    {
        make_root();
        fa = that;
    }
    inline void cut(R Node *that)
    {
        make_root();
        that -> access();
        splay(0);
        that -> fa = ch[1] = null;
    }
    inline bool find(R Node *that)
    {
        access();
        splay();
        while (that -> fa != null)
            that = that -> fa;
        return that == this;
    }
}mem[maxn];
int main()
{
//  setfile();
    n = FastIn(), m = FastIn();
    null = mem;
    null -> fa = null -> ch[0] = null -> ch[1] = null;
    for (R int i = 1; i <= n; ++i) mem[i] = (Node) {0, {null, null}, null};
    for (R int i = 1; i <= m; ++i)
    {
        R char opt;
        while (opt = getc(), opt < 'A' || opt > 'Z');
        R int a = FastIn(), b = FastIn();
        if (opt == 'C')
        {
            (mem + a) -> link(mem + b);
        }
        else if (opt == 'D')
        {
            (mem + a) -> cut(mem + b);
        }
        else
        {
            puts((mem + a) -> find(mem + b) ? "Yes" : "No");
        }
    }
    return 0;
}

练习建议：
BZOJ2002 [Hnoi2010]Bounce 弹飞绵羊
BZOJ2049 [Sdoi2008]Cave 洞穴勘测
BZOJ3282 Tree