[2016北京集训试题8]五颜六色的幻想乡-[拉格朗日插值+矩阵树定理]

Description

Solution

假如将图中所有红边一条拆为x条，蓝边一条拆为y条，可得：

$A_{x,y}=\sum_{r=0}^{n-1}\sum_{b=0}^{n-1-r}*T_{r,b}*x^{r}*y^{b} $

其中$A_{x,y}$是拆完边后，用矩阵树定理求出的生成树个数，$T_{r,b}$是用r条红边，b条蓝边的生成树个数。

然后就是拉格朗日插值了，已知点值$A_{x,y}$，求$T_{r,b}$。

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
int n,m;
int x[10010],y[10010],col[10010];
ll c[60][60];
ll ksm(ll x,int k)
{ll re=1;while(k){if (k&1) re=re*x%mod;k>>=1;x=x*x%mod;}return re;}
ll gauss()
{
    int op=1,i,j,now;ll js,t,ans=1;
    for (i=1;i<n;i++)
    {
        for (j=i;j<n&&!c[j][i];j++);
        if (j==n) return 0;
        now=j;
        if (now!=i) for (op=-op,j=i;j<n;j++) swap(c[i][j],c[now][j]);
        js=ksm(c[i][i],mod-2);        
        for (int j=i+1;j<n;j++)
        {
            t=js*c[j][i]%mod;
            for (int k=i;k<n;k++)
            {
                c[j][k]-=t*c[i][k]%mod;
                if (c[j][k]>mod) c[j][k]-=mod;if (c[j][k]<0) c[j][k]+=mod;
            }
            
        }
        ans=ans*c[i][i]%mod;
    }
    return op==1?ans:mod-ans;
}
ll t;
ll f[60][60],fx[60],fy[60],ans[60][60];
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=m;i++) scanf("%d%d%d",&x[i],&y[i],&col[i]);
    for (int i=1;i<=n;i++) for (int j=1;j<=n;j++)
    {
        memset(c,0,sizeof(c));
        for (int k=1;k<=m;k++)
        {
            if (col[k]==1) t=i;else if (col[k]==2) t=j;else t=1;
            c[x[k]][x[k]]+=t;c[y[k]][y[k]]+=t;
            c[x[k]][y[k]]-=t;c[y[k]][x[k]]-=t;
        }
        f[i][j]=gauss();
    }
    for (int i=1;i<=n;i++) for (int j=1;j<=n;j++)
    {
        t=f[i][j];
        memset(fx,0,sizeof(fx));memset(fy,0,sizeof(fy));
        fx[0]=fy[0]=1;
        for (int k=1;k<=n;k++) if (k!=i)
        {
            for (int x=n;x;x--) fx[x]=(fx[x-1]-fx[x]*k)%mod;
            (fx[0]*=-k)%=mod;
            (t*=ksm(i-k,mod-2))%=mod;
        }
        for (int k=1;k<=n;k++) if (k!=j)
        {
            for (int x=n;x;x--) fy[x]=(fy[x-1]-fy[x]*k)%mod;
            (fy[0]*=-k)%=mod;
            (t*=ksm(j-k,mod-2))%=mod;
        }
        for (int x=0;x<=n;x++) for (int y=0;y<=n-x;y++) (ans[x][y]+=t*fx[x]%mod*fy[y])%=mod;
    }
    for (int x=0;x<n;x++) for (int y=0;y<n-x;y++) printf("%lld\n",(ans[x][y]+mod)%mod);
}