LeetCode 204. Count Primes

注：质数从2开始，2、3……

 

改进过程：

一、常规思路是对小于n的每一个数进行isPrime判断，isPrime(int x)函数中for(int i = 2; i <= x /2; ++i)，如果x%i==0，return false。

二、将isPrime(int x)中i的范围改为i * i <= x。不用i <= sqrt(x)，因为sqrt耗时。

三、isPrime中把是2、3、5倍数的数直接return，不进入for循环。

四、对于每一个数p，p²、p²+p、p²+2p……均不为素数，有点像动态规划的思想。此时可以不用isPrime(int x)函数，而是维护一个isPrime[n]的bool数组，先设里面所有的值均为true，然后i从3开始循环（对应的是如果输入n<3，直接return 0）。因为会把i²之后的一系列数在isPrime数组中的值变为false，因此i循环至i * i < n。

关于if(!isPrime[i]) continue;这一句解释一下。如果isPrime[i] == false，那么也就是说在之前的i循环里被标记过了。设之前的循环的数为p，那么 i = p² + np，如果没有continue这一句的话，那么 j = i * i，设j也等于p² + mp，于是得到等式 (p² + np)² = p² + mp，解得m = p((p + n)² - 1)，也就是说j之前在p循环时已经被标记过了，因此可以直接continue，节省时间。以下是代码，也是题目提示中给出的最优代码。

public int countPrimes(int n) {
   boolean[] isPrime = new boolean[n];
   for (int i = 2; i < n; i++) {
      isPrime[i] = true;
   }
   // Loop's ending condition is i * i < n instead of i < sqrt(n)
   // to avoid repeatedly calling an expensive function sqrt().
   for (int i = 2; i * i < n; i++) {
      if (!isPrime[i]) continue;
      for (int j = i * i; j < n; j += i) {
         isPrime[j] = false;
      }
   }
   int count = 0;
   for (int i = 2; i < n; i++) {
      if (isPrime[i]) count++;
   }
   return count;
}

五、在最后计算cnt时，从2开始到n-1都被判断了一遍，但是偶数绝对不是素数，因此是没必要访问其在数组isPrime中的值的。

既然计算cnt时可以跳过偶数，那么在之前的标记isPrime的for循环里，也可以跳过偶数，相应的j每次+= 2 * i，因为p(p + 1)必定为偶数。

所以for循环里依次变为i += 2, j += 2 * i, i += 2（上一步为++i, j += i, ++i）。

 

最终版代码

class Solution {
public:
    int countPrimes(int n) {
        if(n < 3) return 0;
        bool* isPrime = new bool [n];
        for(int i = 3; i < n; ++i)
            isPrime[i] = true;
            
        for(int i = 3; i * i <= n; i += 2){
            if(!isPrime[i]) continue;
            for(int j = i * i; j < n; j += 2 * i)
                isPrime[j] = false;
        }
        
        int cnt = 1;
        cout<<isPrime[9]<<endl;
        for(int i = 3; i < n; i += 2){
            if(isPrime[i]) ++cnt;
        }
        return cnt;
    }
};