文化课 2024.8.6 日记

退役很久了，高考加油。

T1：

(1). 注意到 \(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\) 一定互斥，那么 \(I\ge 5\)，一方面 \(\{a_i,a_{5+i}\},i\in[1,5]\) 是一组可行解，于是 \(I_{\min}=5\)。

(2). 将数列从前往后划分，第 \(i\) 段的段长为 \(2^{i-1}\)，\(a_m\) 划归到第二段。

则每一段均有 \(\sum a_j< 2^{i-1}a_{2^{i-1}}=1\)，而对于第二段 \(a_2+a_3=\frac 5 6<1-\frac 1 {2^{2024}}\)，则得到了一组 \(2024\) -可分方案。

(3). 令 \(M\) 的整数部分为 \(a\)，小数部分为 \(b\)。

\(a=0\) 时，\(l=1\)。

\(a>0\) 时，构造 \(2a+1\) 个数，满足前 \(2a\) 个数均为 \(\frac 1 2\)，最后一个数为 \(b\)，显然 \(l\ge 2a+1\)。

下证此时最优：令初始方案为 \(m\) -可分方案，每次取最小的两组，若总和小于 \(1\) 则合并。

那么最终的第 \(i\) 组总和 \(S_i\) 满足 \(S_i+S_j>1\)，于是 \(2\sum S_i> l\) 即 \(2M>l\)，而 \(l\ge 2a+1\)，也就是 \(2a+1\le l< 2a+2b\)。

而 \(a=\lfloor M\rfloor\)，所以 \(l\ge 2\lfloor M\rfloor+1\)。

T2：

(1). 换而言之， \(x\notin [2y,3y]\)，定义 \(T\) 为 ban 集合，则 \(T=\cup_{x\in S}[2x,3x]\)。

对于 \(\{1,5,6,8\}\) ，\(T=[2,3]\cup[10,24]\)，显然 \(S\cap T=\varnothing\)。

(2). 注意到如下条件：\(1\) 与 \(2,3\) 互斥，\(2\) 与 \(4,5,6\) 互斥。

所以首先有构造 \(A=\{1,4,5,6\}\)，\(B=\{2,3\}\)，注意这是 \(n=6\) 的唯一解。

容易将 \(7\) 添加到 \(A\) 内，于是 \(A=\{1,4,5,6,7\}\)，\(B=\{2,3\}\)，此时 \(8\in[2\times 4,3\times 4]\in T_A\) 且 \(8\in[6,9]\in T_B\)，于是 \(8\) 不可行。

所以 \(n=7\)。

(3). 首先说明 \(k=3\) 可行：

将 \([1,n]\) 划分成若干形如 \([2^k,2^{k+1}-1]\) 的段，注意到 \(3\times 2^{k+1}-3<2^{k+3}\)，所以这里可以接 \([2^{k+3},2^{k+4}-1]\) 段，于是将 \(2^{k+1}\) 对应段和 \(2^{k+2}\) 对应段分别填充即可。

\(k=2\) 不可行已由 (2) 说明。

附加题不会。