SNOI 2024 题解（坑：D2T2）

树 V 图

相同 \(f(i)\) 的点必然构成一个连通块，不然一定无解。
每一个连通块中需要选出一个关键点，考虑相邻连通块是否合法，发现条件其实很很好判，就是两个交界点的距离需要满足某个大小关系，容易预处理后 \(O(1)\) 判，于是 \(f_{u,x}\) 表示 \(u\) 连通块内取 \(x\) 的方案数，DP 即可。
\(O(Tn^2)\)，Code。

矩阵

马桶套路题，维护四联通双向链表，链表的边的值是两边的差，同时需要维护对边的标号。
对于加操作，抽出边界，则权值差只在这里修改；对于旋转操作，抽出边界，然后交换连边即可。
细节巨大无敌多，\(O(nq)\)，Code。

拉丁方

个人认为比矩阵简单。
首先有一个想法是去填一个靠边界的长方形，假设先填下面，即把 \(R\times C\) 扩展到 \(n\times C\)，然后再扩展到全部。
发现扩展的时候比较困难，尝试图论建模，建立以行号或列号为一边，颜色为另外一边的二分图，会发现问题就是要取出 \(n-R\) 或 \(n-C\) 个将颜色全部覆盖到的匹配，这等价于二分图染色。
考虑无解，发现如果染不出来就无解，抄一个 CF600F 即可，\(O(n^3)\)，Code。

平方数

没听说过不会做系列。
想确定一个大数是不是平方数有如下几个做法：

• 暴力开根号，复杂度 \(O(\log \sqrt{n})\)，没有可减性，而且这个题 \(n\) 最大可达 \(10^{10^6}\) 左右，寄。
• 随机一个质数，check 这个质因子的出现次数为偶数，然后无论如何这都要做一个 Pollard-Rho，这是 \(O(n^{1/4})\) 的，寄。
• 这个我真没听说过，随机一个模数对于这个大数做二次剩余，随几个就是对的，而且这玩意具有可减性。

于是随便找若干个质数，使用 \(O(\sum p)\) 预处理出每一个模意义下二次剩余，状压下可能性，于是可以在 \(O(n\log n)\) 复杂度内统计答案，输出也是简单的，Code。