GDKOI 2024 题解 （坑：D1T3）
鸽了一些题。
匹配
先抽出来一个完美匹配，然后尝试调整。
调整相当于：找一个偶环，满足匹配的边和未匹配的边交错，且偶环的总异或和为 \(0\)，是不是写个暴力就好了？
发现冲过去了，很牛逼，复杂度 \(O(n^3)\)（？），Code。
不休陀螺
一个区间可以被打出的条件是：
- 令 \(\Delta_i=b_i-a_i\)，则 \(x=\sum \Delta_i \ge 0\)，令 \(y=\sum \Delta_i[\Delta_i<0]\)；
- \(\forall \Delta_i<0, E-a_i+y-\Delta_i\ge 0\)；
- \(\forall \Delta_i\ge 0,E+y-a_i\ge 0\)；
考虑扫描线，对区间右端点向右移动，考虑如果这个右端点 \(\Delta <0\)，左端点肯定可以往后走，\(\Delta>0\)，丢掉它对二三两个条件没什么影响。
使用 ST 表分开维护 \(\Delta <0\) 的 \(b_i\) 最大值，\(\Delta>0\) 的 \(a_i\) 最大值，即可双指针得到满足 \(2,3\) 的最大的 \(r\) 的位置，对于条件 \(1\) 直接数点即可，\(O(n\log n)\)，Code。
哈哈傻逼题写了这么久。
计算
首先有 \(\gcd(x^a-1,x^b-1)+1=x^{\gcd(a,b)}\)。
于是 \(L,R\) 可以很快的计算得到，但是区间是很大的，但是发现区间内的数 \(\bmod m\) 之后是有长度为 \(m\) 的循环节的，令循环节的个数为 \(n=(R-L+1)/m\)，则答案对应的多项式是：
答案也就是这个多项式的 \(km\) 项系数之和，套路的，施单位根反演：
对于 \(\prod_{i=0}^{m-1}(1+\omega_m^{ij})\)，发现此时按 \(j\) 为步长存在一个大小为 \(\gcd(j,m)\) 的剩余系，令 \(d=\gcd(j,m)\)，则这个东西就是 \(\prod_{i=0}^{m/d-1}(1+\omega_{m/d}^{ij/d})^d\)，此时 \(j/d\) 的若干倍恰好遍历所有的 \(m/d\)，可以省去，枚举 \(d\)，则有：
对于方程 \(z^m-1=0\) 有 \(m\) 个解 \(\omega_{m}^0,\omega_{m}^1,\ldots,\omega_m^{m-1}\)，故 \(z^m-1=\prod_{i=0}^{m-1}(z-\omega_m^i)\)。取 \(z=-1\) 得到 \((-1)^m-1=\prod_{i=0}^{m-1}(-1-\omega_{m}^i)\)。
对于 \(2|m\)，发现答案一定是 \(0\)，对于 \(m\) 为奇数，有 \(\prod_{i=0}^{m-1}(\omega_{m}^i+1)=2\)。
于是即求：
直接暴力枚举 \(m/d\) 即可，因为会及时剪枝掉偶数，所以很快的，Code。
染色
单位操作是染一个十字架，于是考虑一下这个东西可以构造出什么样的有用操作。
一个想法是在十字架的四端叠合一个十字架，手摸一下发现得到了一个更大的十字架。
定义：\(k\) 阶十字架表示 \((i,j),(i+2^k,j),(i-2^k,j),(i,j-2^k),(i,j+2^k)\)，可以发现在 \(k\) 阶十字架的所有非中心点再叠合一个 \(k\) 阶十字架，可以得到 \(k+1\) 阶十字架。
发现对于 \(n-1\) 阶十字架，\(i+2^{n-1}\equiv i-2^{n-1}\pmod {2^n}\)，所以对于每个点构造 \(n-1\) 阶十字架即可。
于是倒着枚举阶数，对每个位置扫一下需要构造的下一阶十字架就行了，\(O(n4^n)\)，从这个构造也会发现是一定有解的，Code。
