GDKOI 2024 题解 （坑：D1T3）

鸽了一些题。

匹配

先抽出来一个完美匹配，然后尝试调整。
调整相当于：找一个偶环，满足匹配的边和未匹配的边交错，且偶环的总异或和为 $0$，是不是写个暴力就好了？
发现冲过去了，很牛逼，复杂度 $O(n^3)$（？），Code。

不休陀螺

一个区间可以被打出的条件是：

• 令 ${\mathrm{\Delta }}_i=b_i-a_i$，则 $x=\sum {\mathrm{\Delta }}_i\ge 0$，令 $y=\sum {\mathrm{\Delta }}_i[{\mathrm{\Delta }}_i<0]$；
• $\mathrm{\forall }{\mathrm{\Delta }}_i<0,E-a_i+y-{\mathrm{\Delta }}_i\ge 0$；
• $\mathrm{\forall }{\mathrm{\Delta }}_i\ge 0,E+y-a_i\ge 0$；

考虑扫描线，对区间右端点向右移动，考虑如果这个右端点 $\mathrm{\Delta }<0$，左端点肯定可以往后走，$\mathrm{\Delta }>0$，丢掉它对二三两个条件没什么影响。
使用 ST 表分开维护 $\mathrm{\Delta }<0$ 的 $b_i$ 最大值，$\mathrm{\Delta }>0$ 的 $a_i$ 最大值，即可双指针得到满足 $2,3$ 的最大的 $r$ 的位置，对于条件 $1$ 直接数点即可，$O(n\log n)$，Code。
哈哈傻逼题写了这么久。

计算

首先有 $gcd(x^a-1,x^b-1)+1=x^{gcd(a,b)}$。
于是 $L,R$ 可以很快的计算得到，但是区间是很大的，但是发现区间内的数 $modm$ 之后是有长度为 $m$ 的循环节的，令循环节的个数为 $n=(R-L+1)/m$，则答案对应的多项式是：

$$\prod _{i=0}^{m-1}(1+x^i{)}^n$$

答案也就是这个多项式的 $km$ 项系数之和，套路的，施单位根反演：

$$\begin{array}{rl}& \frac{1}{m}\sum _{j=0}^{m-1}\prod _{i=0}^{m-1}(1+{\omega }_m^{ij}{)}^n\end{array}$$

对于 $\prod _{i=0}^{m-1}(1+{\omega }_m^{ij})$，发现此时按 $j$ 为步长存在一个大小为 $gcd(j,m)$ 的剩余系，令 $d=gcd(j,m)$，则这个东西就是 $\prod _{i=0}^{m/d-1}(1+{\omega }_{m/d}^{ij/d}{)}^d$，此时 $j/d$ 的若干倍恰好遍历所有的 $m/d$，可以省去，枚举 $d$，则有：

$$\begin{array}{rl}& \frac{1}{m}\sum _{d|m}\sum _{j=0}^{m-1}[gcd(m,j)=d](\prod _{i=0}^{m/d-1}{\omega }_{m/d}^i+1{)}^{dn}\\ =& \frac{1}{m}\sum _{d|m}\phi (m/d)(\prod _{i=0}^{m/d-1}{\omega }_{m/d}^i+1{)}^{dn}\end{array}$$

对于方程 $z^m-1=0$ 有 $m$ 个解 ${\omega }_m^0,{\omega }_m^1,\dots ,{\omega }_m^{m-1}$，故 $z^m-1=\prod _{i=0}^{m-1}(z-{\omega }_m^i)$。取 $z=-1$ 得到 $(-1{)}^m-1=\prod _{i=0}^{m-1}(-1-{\omega }_m^i)$。
对于 $2|m$，发现答案一定是 $0$，对于 $m$ 为奇数，有 $\prod _{i=0}^{m-1}({\omega }_m^i+1)=2$。
于是即求：

$$\frac{1}{m}\sum _{d|m\wedge m/dmod2=1}\phi (m/d)2^{nd}$$

直接暴力枚举 $m/d$ 即可，因为会及时剪枝掉偶数，所以很快的，Code。

染色

单位操作是染一个十字架，于是考虑一下这个东西可以构造出什么样的有用操作。
一个想法是在十字架的四端叠合一个十字架，手摸一下发现得到了一个更大的十字架。
定义：$k$ 阶十字架表示 $(i,j),(i+2^k,j),(i-2^k,j),(i,j-2^k),(i,j+2^k)$，可以发现在 $k$ 阶十字架的所有非中心点再叠合一个 $k$ 阶十字架，可以得到 $k+1$ 阶十字架。
发现对于 $n-1$ 阶十字架，$i+2^{n-1}\equiv i-2^{n-1}(\mathrm{mod}{2}^n)$，所以对于每个点构造 $n-1$ 阶十字架即可。
于是倒着枚举阶数，对每个位置扫一下需要构造的下一阶十字架就行了，$O(n{4}^n)$，从这个构造也会发现是一定有解的，Code。