Solution - ARC152D Halftree

首先 $n$ 为偶数时无解，这是显然的，因为一次加两条边，总边数一定是偶数。

下面我们证明 $n$ 为奇数时一定有解，直接进行构造。

首先将每一个点编号加上 $k$ 再模 $n$ 的答案求出，将其两两连边可以得到 $gcd(n,k)$ 个置换环，设这个值是 $d$，每个环内部的大小相等，为 $\frac{n}{d}$，我们钦定每个置换环中的最小的数位第一个，下面是 $n=15$，$k=6$ 的情况，其中每一行表示一个置换环：

0,6,12,3, 9
1,7,13,4,10
2,8,14,5,11

下文用 $a_{i,j}$ 表示上述表格中第 $i$ 行第 $j$ 列的元素。

首先我们先将前 $\frac{n}{d}-1$ 列连成一个连通块，具体地我们构造 $(a_{1,i},a_{2,i}),(a_{2,i},a_{3,i})\dots ,(a_{d-1,i},a_{d,i})$，其中 $i$ 是奇数即可。

接下来我们将前 $\frac{n}{d}-1$ 个连通块连通，要想做到这一点我们会同时将最后一列的某一个元素连通，具体地我们构造 $(a_{1,1},a_{1,2}),(a_{1,3},a_{1,4}),\dots ,(a_{1,n/d-2},a_{1,n/d-1})$ 即可。

最后一步，我们需要将最后一列的 $d-1$ 个孤点连通，具体地我们构造 $(a_{2,n/d},a_{3,n/d-1}),(a_{4,n/d},a_{5,n/d-1}),\dots ,(a_{d-1,n/d},a_{d,n/d-1})$ 即可。

总时间复杂度线性。