图论复习

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chapter 1

一、重要概念

图、简单图、图的同构、度序列与图序列、补图与自补图、两个图的联图、两个图的积图、偶图

简单图：无环无重边的图称为简单图。（除此之外全部都是复合图）
图的同构：点对应、边对应，两个图完全一样！$A \cong B$

图同构的几个必要条件：1. 顶点数相同；2. 边数相同；3. 度数相等的顶点个数相同。

偶图（二分图）：可二分类 (X, Y) 的图，每条边的顶点均不属于同一类！指该图的点集可以分解为两个(非空)子集 X和 Y ，使得每条边的一个端点在 X 中，另一个端点在Y 中。

判定：不存在奇圈！！

完全偶图：不是完全图！是指具有二分类(X, Y)的简单偶图，其中 X的每个顶点与 Y 的每个顶点相连记 $K_{m,n}$
度序列：图中各个顶点的度构成的非负正数组：$(d_1, ...d_n)$
- 可图（对整数组而言）：存在一个简单图以它为度序列
- 可图序列：简称图序列

（注意图序列判定和度序列判定的区别，前者仅针对简单图，后者不限！）

图序列判定：

1）度序列和为偶数

2）利用公式计算

3）简单图的度最大为$n-1$，看度序列是否符合！

4）简单图一定存在度数相同的顶点！

度序列判定：

度序列和为偶数！

补图：完全图 - 当前图

若n阶图G是自补的(即 $G \cong \bar{G}$，则$(n~mod~4=0,1)$

一个n阶图和它的补图有相同的频序列

生成子图：顶点与原图相同，边为原图边的子集
导出子图：顶点为原图非空子集$V'$，以及原图中所有以$V'$中顶点为两端的边，记$G[V']$
边导出子图：边为原图的非空子集，以及边对应的顶点，记$G[E']$

简单图 G 中所有不同的生成子图（包括 G 和空图）的个数是$2^m$个

对称差：G1 △ G2 : G1 △ G2 = (G1 ⋃ G2 ) - (G1 ⋂ G2 ) = (G1 -G2 ) ⋃ (G2 -G1 )

联图：设G1，G2是两个不相交的图，作G1+G2，并且将G1中每个顶点和G2中的每个顶点连接，这样得到的新图称为G1与G2的联图。记为G1∨G2

边数：$m1+m2+n1*n2$，点数：$n1+n2$

积图：设G1=(V1, E1)和G2=(V2, E2)是两个图，对点集V1×V2中的任意两个点u=(u1, u2)与v=(v1, v2)，当(u1=v1和u2 adj v2)或(u2=v2和u1 adj v1)时，把u与v相连。如此得到的新图称为G1与G2的积图。记为记为G1×G2

边数：$n1*m2+n2*m1$，点数：$n1*n2$

迹：边不重复的途径
路：点不重复的途径。显然路必为迹
连通图：G中任意两个顶点均连通的图

若图G不连通，则$\bar G$是连通图

$l$部图：若简单图G的点集 $V$ 有一个划分

\[\boldsymbol{V}=\bigcup_{i=1}^{l} V_{i}, \boldsymbol{V}_{i} \cap \boldsymbol{V}_{\boldsymbol{j}}=\boldsymbol{\Phi} \quad i \neq j \]

且所有 $V_{i}$ 非空， $V_{i}$ 内的点均不相邻，则称G是一个 $l$ 部图

完全$l$部图

点数：$\sum n_i$，边数：$\sum_{1\leq i<j\leq l}n_i*n_j$

托兰定理：若n阶简单图G不包含$K_{l+1}$，则G度弱于某个完全 $l$ 部图 H，且若G具有与 H 相同的度序列，则：$G \cong H$

chapter 2

树、森林、生成树、最小生成树、根树、完全m元树

树：连通的无圈图
森林：无圈图称为森林

注：1、设G是具有n个点m条边的图，则下列命题等价：

（1）G 是树

（2）G 无环且任意两个不同点之间存在唯一的路

（3）G 连通，删去任一边便不连通

（4）G 连通，且 n = m + 1

（5）G 无圈，且 n = m + 1

（6）G 无圈，添加任何一条边可得唯一的圈

2、几个结论

（1）树和森林都是简单图

（2）树和森林都是偶图（无圈，偶图判定：无奇圈！）

（3）每棵非平凡树至少含有两片树叶

（4）树是含有边数最少的连通图，成为最小连通图

（5）树是含有边数最多的无圈图

（6）假定（n,m）图G是由k棵树组成的森林，则m=n-k

（7）若G是树，且最大度大于等于k，则G至少有k片叶子

（8）树的度序列判定：$\sum d_i = 2(n-1)$

根树：一棵非平凡的有向树T，如果恰有一个顶点的入度为0，而其余所有顶点的入度为1，这样的有向树称为根树。其中入度为0的点称为树根，出度为0的点称为树叶，入度为1，出度大于1的点称为内点。又将内点和树根统称为分支点
完全m元树：对于根树T，若每个分支点至多m个儿子，称该根树为m元根树；若每个分支点恰有m个儿子，称它为完全m元树

在完全 m元树 T中，若树叶数为 t，分支点数为 i，则 $(m-1)i = t-1$

有向图中所有顶点的出度或入度之和等于边数

图的顶点的离心率 $e(v) = \max\{d(u, v) | u \in V(G)\}$
图的半径：最小的离心率 $r(G) = \min\{ e(v) | v \in V(G) \}$
图的直径：最大离心率 $d(G) = \max\{ e(v) | v \in V(G) \}$

把树上面的每个点的离心率标出来，最大值就是直径，最小值就是半径；

图的中心点：离心率等于半径的点。
图的中心：中心点的集合。

生成树：图G的一个生成子图T如果是树，称它为G的一棵生成树；若T为森林，称它为G的一个生成森林。

注：最小生成树的求法：Kruskal算法、破圈法、Prim算法

（1）连通图的生成树必存在

（2）连通图G的生成树一般不唯一（树除外）

注：生成树的个数计算

（1）递推公式：$\tau (G) = \tau ( G − e ) + \tau( G \cdot e )$

（2）邻接矩阵$A(G)$，度对角矩阵$D(G)$，拉普拉斯矩阵$C=D(G)−A(G)$，求$C$的任意一个余子式

（3）完全图的生成树：$\tau (K_n)=n^{n-2}$

chapter 3

有无圈的判定：

1）若过点u存在闭迹，则过点u必存在圈。

2）在n(n≥2)阶连通图中，至少有n-1条边；如果边数大于n-1，至少有个圈

3）若一个图G中的$\delta(G)\geq 2$，则G中必然有圈

割边，割点无必然联系！

有割边的图不一定有割点，比如K2

有割点的图不一定有割边，比如8字形的图

割边不在图的任意一个圈之中

阶数至少是3的连通图中，图的割点也是子图的割点

完全图不一定没有割边，比如K2

2连通图一定没有割边

推论：设e是连通图G的任意一条边，若e含在G的某圈中，则G-e仍连通。

块：没有割点的连通图称为块（自环也是一个块）
- 若图G的子图B是块，且G中没有真包含B的子图也是块，则称B是G的块

仅有一条边的块，要么是割边，要么是环

仅有一个点的块，不是孤立点就是自环

至少两个点的块无环

阶数至少为3的块无割边

阶数至少为3的块中的任意两点都位于同一个圈上

阶数至少为3的块中的任意两条边都在同一个圈上

割点与块的关系：割点至少属于G的两个不同的块。（割点是划分块的分界点！）

连通度$k(G)$：G的最小顶点割中的点数为G的连通度

求连通度$k(G)$：

1）没有顶点割（完全图），$k(G)=n-1$

2）实际上只有以完全图为生成子图的图没有顶点割

3）对非连通图G定义 $k(G)= 0$

4）G是(n, m)连通图，则$k(G) \leq \lfloor 2m/n\rfloor$

5）$k(C_n)=2$，其中 $C_n$为n圈，$n\geq 3$

边连通度$\lambda(G)$：G的最小边割集所含边数称为G的边连通度

求边连通度$\lambda(G)$：

1）若G不连通或G是平凡图，则定义 $\lambda(G)=0$

2）完全图存在边割集， $\lambda(G)=n-1$

3）G是(n, m)单图，若 $\delta(G) \geq \lfloor n/2\rfloor$，则有：$\lambda(G)=\delta(G)$

4）$\lambda(C_n)=2$，其中 $C_n$为n圈，$n\geq 2$

判断连通性：

1）G是(n, m)单图，若 $\delta(G) \geq \lfloor n/2\rfloor$，G连通

2）设G是(n, m)单图，若对任意整数 k，有：$\delta(G) \geq \frac{n+k-2}{2}$，则G是 k连通的

3）若图G是不连通的，则其补图一定是连通图（反之不成立）

4）设图G为n阶图，若G中任意两个不相邻顶点u与v满足$d(u)+d(v)≥n-1$，则G是连通图且$d(G)≤2$

对任意图G，有：$k(G) \leq \lambda(G) \leq \delta(G)$
敏格尔定理
- (1) 设x和y是图G中的两个不相邻点，则G中分离x和y的
  最少点数=独立的(x, y) 路的最大数目。
- (2) 设x和y是图G中的两个不同点，则G中分离x和y的
  最少边数 = 边不重的(x, y) 路的最大数目。

推论1：

对$k\geq 2$，图G是k连通的当且仅当G至少有k+1个点并且G中任意两个不同顶点间均存在k条独立路；

G是k边连通的当且仅当G至少有k个点并且G任意两个不同项点间均存在k条边不重的路。

推论2：设G是阶至少为3的图，则以下三个命题等价。

(1) G是2连通的。

(2) G中任意两点都位于同一个圈上

(3) G无孤立点且任意两条边都在同一个圈上

chapter 4

经过G的每条边的(内)迹被称为Euler(闭)迹
存在Euler闭迹的图称为欧拉图，简称E图
Euler闭迹又称为Euler环游

判定欧拉图：

连通图G的每个点的度是偶数

连通图G的边集能划分为圈（边集可划分为一个个无重边的圈）

判断欧拉迹：

连通图G有Euler迹 <==> G最多有两个奇点

连通图G有Euler迹 <==> G能一笔画

若奇点数为0，则一笔画与起点无关

若奇点数为2，则一笔画的起点与终点均为奇点

判断欧拉有向图：

D的每个点的入度等于出度

D的弧集可划分为有向圈

欧拉图的相关结论：

一定是连通图

欧拉图不一定没有割点，比如8字形的图

欧拉图一定没有割边

非平凡的欧拉图中一定有圈

至少具有两个点的无环欧拉图一定是2边连通的

有向图D中，以一点u为起点的弧的数目称为u的出度，记为$d_D^+(u)$
有向图D中，以一点u为终点的弧的数目称为u的入度，记为$d_D^-(u)$
最优环游：在一个连通的具有非负权的赋权图G中找一条包含每条边(允许重复)且边权之和最小的闭途径。

求解最优环游（中国邮递员问题）：

若图G是一个欧拉图，则找出G的欧拉回路即可（Fleury算法），权值为所有边权重之和

不是欧拉图的情况：

消除奇点：重复两奇点之间路上的边

删边：重数大于2的边，删去其中偶数条

圈中重复经过的边若超过圈长度的一半，重边与非重边互换

赋权图的最优环游：

非欧拉图时处理同上加边、删边，圈中重复边的总权值不超过该圈非重复边的总权值

加边时，相当于求两奇点之间的最短路

Fleury算法：Euler图中确定Euler环游

从任一点出发按下法来描画一条边不重复的迹，使在每一步中未描画的子图的割边仅当没有别的边可选择时才被描画

Hamilton路（圈）：经过图中每个点仅一次的路（圈）

H圈必须起点终点相同，H路则起点终点不同！

哈密尔顿图：存在Hamilton圈的图，简称H图

H图的判定：

定理7 (必要条件) 若G为H图，则对V(G)的任一非空顶点子集S，成立：$ω(G－S) ≤|S|$。

定理8 (充分条件) 对于$n≥3$的简单图G，如果$δ(G) ≥n/2$，则G是H图。

定理9 (充分条件) 对于$n≥3$的简单图G，如果G中的任意两个不相邻顶点u与v，【均有】$d(u)+d(v) ≥n$，则G是H图。

定理10 (闭包定理) 图G是H图当且仅当它的闭包是H图。

定理11 (度序列判定法) 设简单图G的度序列是(d1, d2,…,dn)，其中d1≤d2≤…≤dn，并且n≥3。若对任意的m<n/2，或者$d_m>m$，或者$d_{n-m}\geq n-m$，则G是H图。

定理12 设G是n阶简单图。若n≥3且$|E(G)|>C_{n-1}^2+1$则G是H图；并且具有n个顶点$C_{n-1}^2+1$条边的非H图只有$C_{1,n}$以及$C_{2,5}$

完全图一定是H图！！

H图相关结论：（举反例想到长度为５的圈）

一定没有割边

不一定没有割点，比如H图+自环（也是H图，而自环让该点成为了割点）

一个简单图是H图当且仅当它的闭包是H图

G是n≥3的简单图，若G的闭包是完全图 $K_n$，则G是H图

G为阶数至少为3的非H的简单图，G度弱于某个$C_{m,n}$图（度极大的非H图）

H图不一定是完全图，比如长度为5的圈

完全图$K_{2n+1}$是n个H圈的和

G为阶数至少为3的H简单图，若n为奇数，则G一定不是偶图

最优H圈（旅行售货员问题）：在赋权完全图G中求具有最小权的哈密尔顿圈，这个圈称为最优圈。采用边交换技术求解最优H圈
$C_{m,n}$ 图：需要$1\leq m<n/2$，$C_{m, n}=K_{m} \vee(\bar{K}_{m}+K_{n-2m})$
闭图：在n阶简单图G中，若对$d(u)+d(v) \geq n$的任何一对点u和v均有`$u ~adj~ v$
闭包：若一个与G有相同点集的闭图$\hat{G}$，使$G \subset \hat{G}$，且对异于$\hat{G}$的任何图H，若有$G \subset H \subset \hat{G}$，则H不是闭图，则称$\hat{G}$是G的闭包。

一个简单图是H图当且仅当它的闭包是H图

G是n≥3的简单图，若G的闭包是完全图 $K_n$，则G是H图

彼得森图：

点连通度为3，边连通度为3

是一个3-正则图

点色数为3，边色数为4

半径与直径均为2

不是H图（删去任意顶点后为H图）

是不可平面图

存在完美匹配

虽然该图无割边，但也不可1-因子分解（3正则图有割边，不能1-因子分解）

是一个1-因子和一个2-因子的并

chapter 5

最大匹配：含边数最多的匹配
完美匹配：图中的点均为M饱和点的匹配
最优匹配：设G=(X, Y)是边赋权完全偶图，G中的一个权值最大的完美匹配称为G的最优匹配

定理13 设G=(X, Y)是偶图，则G存在饱和X的每个顶点的匹配的充要条件是：对 $\forall S \subseteq X$，有 $|N(S)| \geq|S|$

推论若G是k (k>0)正则偶图（就是$K_{n,n}$），则G存在完美匹配。

定理14 在偶图中，最大匹配的边数等于最小覆盖的顶点数。

$K_{2n}和K_{n,n}$的完美匹配（1-因子分解）的个数分别为：$(2n-1)!!、n!$

图 G存在完美匹配的一个必要条件是 G 的点数为偶

一个图的最大匹配必存在，但完美匹配不一定存在

完美匹配必是最大匹配，而最大匹配不一定是完美匹配

匈牙利算法

最优匹配求解：Kuhn-Munkres算法

M 交错路：G 中由M中的边与非M 中的边交替组成的路。（设 M 为图 G 的一个匹配）
M 可扩路：起点与终点均为M 非饱和点的M交错路
邻集N(S)：与S中顶点邻接的点的集合，可包含S本身的点
点覆盖：指V(G)的一个子集 K，使得G的每条边都至少有一个端点在 K 中

设K是G的覆盖，M是G的匹配，由于M中的边互不相邻，若要覆盖中M中的边，至少需要|M|个顶点，所以|M| ≤ |K|。特别地，若$M^*$是最大匹配，且$K^*$是最小覆盖，则$|M^*| ≤ |K^*|$

设M是匹配，K是覆盖，若|M| = |K|，则M是最大匹配，且K是最小覆盖

在偶图中，最大匹配中的边数等于最小覆盖中的点数

因子：图G的一个因子是指至少包含G的一条边的生成子图，即非空的生成子图就是一个因子(G的生成子图是指满足V(H) =V(G)的子图H)
k-因子指k正则的因子（k正则图）
因子分解：所谓一个图G的因子分解，是指把图G分解为若干个边不重的因子之并。k-因子分解：每个因子均为k-因子的因子分解，此时称G本身是k-可因子化的

定理15 K2n可一因子分解。

定理16 具有H圈的三正则图可一因子分解。

定理17 K2n+1可2因子分解（n个）。

定理18 K2n可分解为一个1因子和n-1个2因子之和。

定理19 每个没有割边的3正则图是一个1因子和1个2因子之和。（彼得森图）

1因子就是完美匹配

两个 1因子可以合并为一个2因子，但2因子或3因子不一定可折为1因子的并

两个k-因子可以合并成为一个2k-因子，但2k因子不一定可拆

没有割边的3正则图存在完美匹配！

3正则图有割边，不能1-因子分解（有割边一定没有H圈）

n（偶数）阶H圈可分解为2个1因子

3个1因子之和为一个3因子（3可为任意数）

荫度：边不相交的生成林的最少数目

$\sigma(K_n)=\lceil n/2 \rceil，\sigma(K_{r,s})=\lceil \frac{rs}{r+s-1} \rceil $

三正则图相关：

有割边：

不能1-因子分解（有割边一定没有H圈）

有割边的三正则图不一定有完美匹配

无割边：

没有割边的3正则图是一个1因子和1个2因子之和

无割边的三正则图一定存在完美匹配

无割边且有H圈的三正则图可一因子分解。

chapter 6

可平面图（可嵌入平面）：图G可画在一个平面上使除顶点外边不交叉
平面嵌入：可平面图G的边不交叉的一种画法
平面图：G的平面嵌入表示的图
设G 是一个平面图，G 将所嵌入的平面划分为若干个区域，每个区域的内部连同边界称为 G 的面，无界的区域称为外部面或无限面。每个平面图有且仅有一个外部面
设f是G的一个面，构成f的边界的边数(割边计算两次)称为f的次数，记为$deg(f)$

平面图的相关定理：

所有面（包括外部面）的次数之和为边数的2倍：$\sum_{f \in \Psi} deg(f)=2 m$

定理2（Euler公式）：设G是具有n个点m条边$\Phi$个面的连通平面图，则有：$n-m+\Phi = 2$

定理3：设G是具有$\Phi$个面 k个连通分支的平面图，则$n-m+\Phi = k+1$

定理4：设G是具有n个点m条边的连通平面图，$\Psi$是G中所有面的集合，若对任意任意的$f\in \Psi$均有$deg(f)\geq l\geq 3$，则：$m \leq \frac{l}{l-2} (n-2)$

推论1：设简单可平面图G有n个点m条边，具$n\geq 3$，则$m \leq 3n-6$

推论2：设G是具有n个点m条边的连通平面图，若G中所有面均为由长度为l的圈围成，则$m(l-2)=l(n-2)$

平面图的判定：

（必要条件，如$k_5, k_{3,3}$）若 G是简单平面图，则 $\delta \leq 5$

图G是可平面的当且仅当它不含与$K_5$ 或 $K_{3,3}$ 同胚的子图

至少9个点的简单可平面图的补图是不可平面的，而9是这种数目中最小的一个。

判定非平面图：

(1) m>3n-6 OR m>(n-2)l/(l-2)

(2) K 5 是G的一个子图

(3) K 3,3 是G的一个子图

(4) $\delta > 5$

存在且只存在5种正多面体：正四面体、正方体、正八面体、正十二面体和正二十面体
一个连通平面图是2连通的，当且仅当它的每个面的边界是圈
极大平面图：设G是简单可平面图，如果在G的任意非邻接顶点间添加一条边后，得到的图均是非可平面图，则称G是极大可平面图
- 如果在不可平面图G中任意删去一条边所得的图为可平面图，则称G为极小不可平面图

极大平面图的性质：设 G是一个有n个点m条边ф个面的极大平面图，n≥3，则

(1) m = 3n-6

(2) ф= 2n-4

设G是至少有3个顶点的平面图，则G是极大平面图，当且仅当G的每个面的次数是3且为单图

基础简单图：给定图G，去掉G中的环(若有的话)，将G中的重边(若有的话)用单边代替，称这样所得的图为G的基础简单图
- (1) 图G是可平面图，其基础简单图是可平面图。
- (2) 图G是可平面图，它的每个块是可平面图。
若图G的k个可平面子图的并等于G，则称k的最小值为G的厚度，记为$\theta(G)$
- G是可平面图 <==> $\theta(G)=1$
对偶图的画法：

平面图G的对偶图$G^*$必连通！

$G^*$的面数等于G的点数

边数相等

$G^*$的点数等于G的面数

$d(v_i^*)=deg(f_i)$

chapter 7

正常边着色：相邻边使用不同的颜色
边色数：进行正常边着色需要的最小颜色数，$\chi '(G)$，简记χ'
k边可着色：能使用k种颜色对图进行正常边着色

对图的正常边着色，实际上是对G的边集合的一种划分，使得每个划分块是G的一个边独立集(无环时是匹配)；图的边色数对应的是图的最小独立集划分数。

很明显任何正常边着色中和任一顶点关联的各边必须着不同色，由此推知 $\chi \geq \Delta$

若 G 图是偶图，则 $\chi '(K_{m,n}) = \Delta$

若 G 图是简单图，则 $\chi' = \Delta$或 $\chi' = \Delta+1$

设G是Δ(G )>0的简单图。若G中恰有一个度为Δ(G )的点，或G中恰有两个度为Δ(G )的点并且这两个点相邻，则$\chi' = \Delta$

设图G = (V, E)是n 阶简单图，若 $n=2k+1$且边数$m>kΔ$，则 $\chi' = \Delta+1$

设G 是奇阶 Δ-正则简单图。若Δ>0, 则 $\chi' = \Delta+1$

例3 设n =2k+1, k>0. 求$\chi$’ (C n ) 和 $\chi$’ (K n ), 其中C n 为 n 圈。

设无环图 G 的最大重数为 μ，则 $\chi' = \Delta+\mu$

正常点着色：相邻点使用不同的颜色
点色数：进行正常点着色需要的最小颜色数，χ(G)，简记$\chi$，色数为k的图简称k 色图
k可着色：能使用k种颜色对图进行正常边着色

点着色划分对应于求最小独立集划分数！

对任意的图 G 均有 $\chi≤Δ+1$

设G是简单连通图。假定G既不是完全图又不是奇圈，则 $\chi≤Δ$

设G是非空简单图，若G中度数最大的点互不相邻，则 $\chi≤Δ$

每个平面图是5可着色的

点着色算法：看ppt

Welsh-Powell着色算法：最大度数优先

色计数： 就是给定标定图G和颜色数k，求出正常顶点着色的方式数。方式数用$P_k (G)$表示；$P_k (G)$是k的多项式，称为图G的色多项式

点色数与色多项式：

若$k<\chi(G) \rightarrow P_k(G)=0;~~\chi(G)=\min\{k|P_k(G) \geq 1\}$

若G为n阶空图，则 $P_k(G)=k^n$

$P_k(K_n)=k(k-1)...(k-n+1)$

若图G含有n个孤立点，则$P_k (G)=k^n P_k (G’)$，其中G’是G去掉 n个孤立点后所得的图。

若图G有环或有重边，则去掉环并将重边用单边代替之后所得图的k-着色数目与原图一样。

色多项式的求法：

递推计数法

设G为简单图，则对任意边 e 有：$P_k(G)=P_k(G-e)-P_k(G\cdot e)$

设G是单图，e=uv是G的一条边，且d(u)=1，则：$P_k(G)=(k-1)P_k(G-u)$

当图G的边数较少时$m\leq 1/2 C_n^2$，使用减边递推法：$P_k(G)=P_k(G-e)-P_k(G\cdot e)$

当图G的边数较多时，使用加边递推法：$P_k(G-e)=P_k(G)-P_k(G\cdot e)$

理想子图：设H是图G的生成子图。若H的每个分支均为完全图，则称H是G的一个理想子图。用$N_r (G)$表示G的具有 r 个分支的理想子图的个数。
设$q_r(G)$表示将单图G的顶点集合V划分为 r 个不同色组的色划分个数，则：

todo....

理想子图计数法

chapter 9

强连通图、单向连通图、弱连通图

强连通图：若D的中任意两点是双向连通的，称D是强连通图
弱连通图：若D的基础图是连通的，称D是弱连通图
单向连通图若D的中任意两点是单向连通的，称D是单向连通图

强连通一定单向连通，单向连通一定弱连通

有向图D =(V, E)是强连通的，当且仅当D中存在含有所有顶点的有向回路

强连通分支：G的极大强连通子图！（单个顶点也算）

有向图D=(V,E)的每个顶点只能位于某一个强(弱)连通分支中

重点

注:度序列的判定问题是重点。（注意与图序列的区别）
注:图序列的判定问题是重点。（图序列只针对简单图）
注:要求掌握自补图的性质。
注:掌握偶图的判定。
注:要求熟练掌握最小生成树的求法。
注:对于完全m元树，要弄清其结构。
注:要弄清楚因子分解和完美匹配之间的联系与区别。

偶图判定
欧拉图、欧拉迹的判定
H图的判定
偶图匹配与因子分解
平面图及其对偶图
着色问题
根树问题

证明

偶图中一定不含奇圈（p10）
自补图的性质$n=0,1(mod~4)$（p3）
在完全 m元树 T中，若树叶数为 t，分支点数为 i，则 $(m-1)i = t-1$（p218）
完全图的生成树：$\tau (K_n)=n^{n-2}$（矩阵计算）
若一个图G中的$\delta(G)\geq 2$，则G中必然有圈（握手法则）
G是(n, m)连通图，则$k(G) \leq \lfloor 2m/n\rfloor$（p52）
G是(n, m)单图，若 $\delta(G) \geq \lfloor n/2\rfloor$，G连通（p52）
设G是(n, m)单图，若对任意整数 k，有：$\delta(G) \geq \frac{n+k-2}{2}$，则G是 k连通的（p52）
若G为H图，则对V(G)的任一非空顶点子集S，成立：$ω(G－S) ≤|S|$
$K_{2n}$和$K_{n,n}$的完美匹配（1-因子分解）的个数分别为：$(2n-1)!!、n!$
设G是具有$\Phi$个面 k个连通分支的平面图，则$n-m+\Phi = k+1$（p122）
设G是具有n个点m条边的连通平面图，$\Psi$是G中所有面的集合，若对任意任意的$f\in \Psi$均有$deg(f)\geq l\geq 3$，则：$m \leq \frac{l}{l-2} (n-2)$（p122）
若 G是简单平面图，则 $\delta \leq 5$（p123）

posted @ 2021-06-06 15:42 就酱阅读(1869) 评论(0) 收藏举报

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