【待解惑问题（已解决）】约瑟夫(Josephus)环问题

周末到了，首先祝大家周末愉快。可怜我周末都没得休息，继续努力 ：）大家该哈皮的去哈皮吧。

昨天，其实从前天开始就开始准备约瑟夫环，昨晚就准备开始写，不过想来想去对其数学推导出递推式还是没有想明白。大家有空帮忙看看，到底这个递推式是怎么出来的呢？我下面会一步步将自己的思考列下来。多谢多谢。

一开始将题目和模拟法稍微写一下，之后是关于数学方法的疑惑，大家可以直接略过上面的一些内容，跳到关键部分。 

【题目】 

约瑟夫环问题，每一个学习过数据结构或者C语言的人应该都会遇到过的问题。不论是在课本的教授内容中，还是在习题里面，都应该会出现过它的身影。 

 

基本的题目内容如下：

n个人围成一圈，编号从1到n，报数1，2，3，从编号为1的人开始报数，报到3的离开，下面的人接着从1开始报数，依次下去，写程序求最后剩下来的一个人编号是几。

这里题目中报数为到3为止，其实可以扩展到m。也就是n个人，报到m的人出列，同时也可以扩展到以某一个人为开始，而并不是从第1个人开始。

【模拟法】

一般在数据结构课上遇到这个问题的时候，是讲解循环链表的时候，这个题目是用来检验循环链表学习的结果的。所以一开始我们用最“朴素”的方法来解决。

一般这种方法，被称之为模拟法，也就是模拟问题发生的过程，直到得到最后的结果，这种解法是最容易想到的，但是一般也是效率最低的。

使用模拟法来解决，我们可以使用循环链表，也可以使用数组来模拟循环。这里我们使用循环链表，循环链表尽管比数组要写得麻烦，但是思考起来简单直观。

解决问题的核心步骤如下：

1．  建立一个循环链表，将每个节点进行编号

2．  开始报数，当报到3，删除该节点，然后接着报数

3．  直到只剩下最后一个节点的时候结束，将该节点的值输出

 1 typedef struct listnode
 2 {
 3     int num;
 4     listnode *next;
 5     listnode(int n, listnode *newlink) {num=n; next=newlink;}
 6 }listnode;
 7 
 8 void Josephus(int n, int m)
 9 {
10     listnode *header;
11     listnode *next=NULL;
12     listnode *last;
13     listnode *newnode;
14     //step 1
15     for(int i=n;i>0;i--)
16     {
17         newnode = new listnode(i,next);
18         if(i==n)
19             last=newnode;
20         next=newnode;
21     }
22     header=newnode;
23     last->next=header;
24     //step 2
25     listnode *p=header;
26     int cnt=1;
27     while(p!=p->next)
28     {
29         listnode *q=p;
30         p=p->next;
31         cnt++;
32         if(cnt==m)
33         {
34             listnode *tmp=p;
35             q->next=p->next;
36             p=p->next;
37             cnt=1;
38             delete tmp;
39         }
40     }
41     //step 3
42     cout<<"the last one is "<<p->num<<endl;
43 }

 

用数组的话，就是要实现循环，也就是当数到n的时候，不会再进行n+1，而是从1再开始。这个我们可以用取余数来得到。

开始模拟，首先第一个退出的人肯定是m%n，然后需要将之后的位置进行调整，（是否可以不进行调整？用标志位似乎也不是特别好）此时如果还要数组循环的话，就需要与n-1进行取余操作。然后一直这样继续。这里就不给出代码了。

这里我们只是输出了最后一个人的号码，其实也可以将出列的顺序打印出来，还可以将出列的节点保存起来，以后使用。

这里的时间复杂度为O(m*n)。 

 

【数学方法】

对于约瑟夫环问题，最简单的模拟法研究了意义也不是很大。我们的目的是找到更快的算法。也就是不使用模拟法，而是使用数学解法。

多谢园子中兄弟elite_lcf和Ivony的回复，终于搞明白了。下面加上自己理解后的内容，蓝色就是新加上的理解内容。

我差不多花了半天多的时间专门在这个上面（恩，其实还有晚上的部分时间。。。），在google上换了n个关键词（其实夸张了，也就四个，“约瑟夫环问题”，“约瑟夫环数学”，“约瑟夫环 数学原理”，“约瑟夫环 推导”）。搜到的结果包括关于约瑟夫环的国内的博客，百度知道（汗，其实还有搜搜问问），以及各个论坛都看了个差不多，基本上都是几篇帖子转来转去，对于关键的那个地方，大家基本统一的用“显而易见”来一句概括。（啊！！！我最讨厌这句了，我怎么就不能一眼看出，显而易见呢，各位神人啊，下次能不能讲得更明白些让我这种人也能够懂啊。。。） 

不过也有收获，就是找到几个不错的网站，同时也知道了原来《具体数学》中介绍过约瑟夫环，但是似乎只是介绍了m=2的情况，而将扩展没有介绍。不过现在也没有这本书，同时这段时间看来是没有空去啃了，等有空了，要读一读这本书，原来还是Knuth写的。

其实网上所有的说法，其答案是一致的，解释从本质上也是一致的，但是就是让人理解很难理解，当然，肯定有人理解的。。。

网上的一种说法，列出也是园子里面兄弟的链接：

http://www.cnblogs.com/woodfish1988/archive/2007/02/18/652251.html 

我这里就不摘录了，大家有兴趣可以按照链接过去看。我这里就开始写自己的理解。其实相差不大。

【思考过程】 

 

首先一开始的序列

序列1： 1, 2, 3, 4, …, n-2, n-1, n

此时出队列的第一个人，位置为k，号码肯定是m%n。这个应该没有问题，也就是取余操作使得数组类似能够有循环的功能。

此时序列2： 1, 2, 3, 4, … k-1, k+1, …, n-2, n-1, n

此时k出队列，序列2中为n-1个人了。

 

根据序列2，得到序列3：

k+1, k+2, k+3, …, n-2, n-1, n, 1, 2, 3,…, k-2, k-1

从序列2得到序列3很简单，也就是将k+1作为开始，然后将1连到n的后面，其实只是位置的不同，但是本质两个序列是一样的。所以同样，这里也是n-1个元素。

序列3可以映射得到序列4：

1, 2, 3, 4, …, 5, 6, 7, 8, …, n-2, n-1

这里我就乱掉了，这个映射是可以做，但是映射关系是怎样的？

OK,先不管映射关系，我们继续来推导。

对于序列4，我们假设能够得到解，也就是最后一个退出的人的号码，设置为x。如果我们能够通过映射关系，将x在序列3中对应的号码x’求出来，那我们就可以得到序列3的解，因为序列3其实和序列2是同一个，所以序列2的解我们也就得到了，序列2就是序列1去掉一个k，这个k对于序列1的解没有任何影响，所以序列1的答案就是求出来的x’。

那关键就是如何通过x得到x’ ，也就是映射关系的问题。

对于序列4，如果我们要得到1到n-1序列中的值，我们也是做取余操作，只不过除数变为n-1了。

但是如何得到关系为 x'=(x+m)%n，从而得到递推式

f(i)=(f(i-1)+m)%i

还是没法理解出来。

f(1)=1肯定是

 

有没有谁能帮忙解惑一下，谢谢。。。 

对于序列3中的x'来说，x'对于n之前的数，肯定是为x+k，而对于n之后的数，其实就是要做一个循环，而一开始疑惑就是循环做不起来，因为少了一个k，只有n-1个数，那中间就是断的。那既然少了一个k，我们就将k加上去，其实前面已经分析出来，多一个k也不影响解，因为k是第一个出列的数。

那就可以得到映射关系为x'=(x+k)%n。而k=m%n，所以x'=(x+m%n)%n=(x+m)%n。

而序列4，是一个连续的n-1个数的序列，作为下一个递归的开始，所以下一个递归的除数也就是n-1，而不是n。

这样我们就得到递推式

f(i)=(f(i-1)+m)%n了。

 

多谢大家帮助解惑，稍后再补上程序和优化部分。

在代码实现的时候发现，犯了一个很大的错误，这里序列的开始节点应该是0而不是1，当时为了与题目依靠紧密而使用1，以为不影响，但是其实取余会取到0，所以还是要从0开始，这样得到的结果就需要+1，才是题目中需要的结果。

递归操作的代码：

 1 int Josephus(int n, int m)
 2 {
 3     if (n==1)
 4     {
 5         return 0;
 6     }
 7     return (Josephus(n-1,m)+m)%n;
 8 }
 9 
10 int main()
11 {
12     int ret=Josephus(5,3);
13     cout<<ret+1<<endl;
14 }
15 

非递归操作的代码，也就是递推

 1 int josefus(int n,int m) 
 2 {
 3     int l=0,c;
 4     for(c=1;c<=n;c++)
 5         l=(l+m-1)%c+1;
 6     return l;
 7 }
 8 
 9 int main()
10 {
11     int ret=josefus(5,3);
12     cout<<ret<<endl;
13 }
14 

【优化】

上面的算法的时间复杂度会精简到O(n)。已经是很快了。不过还有更快的，可以到O(m)，如果m和n相差很大，m很小的话，速度又会提升。具体大家可以看园子里面兄弟的帖子。

http://www.cppblog.com/guyuecanhui/articles/76443.html

 

【扩展】

约瑟夫环问题的扩展很多，大多都是相同的问题，只不过人换成了猴子，有一个猴子推选猴王的题目；然后ZOJ的1088题也是约瑟夫环的应用，如果用模拟做，好像比较难AC。

【总结】

约瑟夫环可以考察的地方还是算不少，首先可以考察循环链表的知识，同时还可以考察链表的删除。然后用数组来实现，也可以查看编程细节。

在数学方法，其实递推式出来，也就是考察了递归。当然，解决的时候，可以用递归来写，也可以用递推来写。

同时如果大家了解过一点hash的话，比如我，就只了解一点儿。。。可以注意到对m%n这种取余，也就是让m落到n的范围内，这不就是最简单的哈希函数吗？

而哈希函数的使用场合就比较多了，能够想到的加密解密领域。当然，这个我就没有再去深入了，大家有兴趣可以讨论讨论。