[GXOI/GZOI2019]旧词

Description

给定一棵 \(n\) 个点的有根树，节点标号 \(1 \sim n\)，\(1\) 号节点为根。

给定常数 \(k\)。
给定 \(Q\) 个询问，每次询问给定 \(x,y\)。

求：

\[\sum\limits_{i \le x} \text{depth}(\text{lca}(i,y))^k \]

\(\text{lca}(x,y)\) 表示节点 \(x\) 与节点 \(y\) 在有根树上的最近公共祖先。
\(\text{depth}(x)\) 表示节点 \(x\) 的深度，根节点的深度为 \(1\)。
由于答案可能很大，你只需要输出答案模 \(998244353\) 的结果。

Solution

当 \(k=1\) 的时候就是 [LNOI2014]LCA.

当 \(k\not =1\) 的时候其实本质上是一样的，我们需要保证加入一个节点 \(x\) 的对 \(y\) 的贡献为 \(depth(lca(x,y))^k\) ，那么我们可以构造一个序列，把 \(x\) 到根路径上全部加上这段序列后查询 y 到根的路径和会新增 \(depth(lca(x,y))^k\)，所以令这个序列为 \(A\)，则 \(A_i=dep(i)^k-dep(i-1)^k\)，由于路径深度是连续的，所以巧妙地差分掉了，其余的做法和上面那道题相似，不再赘述。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <fstream>

using namespace std;

#define LL long long
#define SZ(x) ((int)x.size())
#define ALL(x) (x).begin(), (x).end()
#define MP(x, y) std::make_pair(x, y)
#define DE(x) cout << #x << " = " << x << endl
#define DEBUG(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#define GO cerr << "GO" << endl;

inline void proc_status()
{
	ifstream t("/proc/self/status");
	cerr << string(istreambuf_iterator<char>(t), istreambuf_iterator<char>()) << endl;
}
template<class T> inline T read() 
{
	register char c;
	register T x(0), f(1);
	while (!isdigit(c = getchar())) if (c == '-') f = -1;
	while (x = (x << 1) + (x << 3) + (c xor 48), isdigit(c = getchar()));
	return x * f;
}
template<typename T> inline bool chkmin(T &a, T b) { return a > b ? a = b, 1 : 0; }
template<typename T> inline bool chkmax(T &a, T b) { return a < b ? a = b, 1 : 0; }

const int maxN=5e4;

#define mod (998244353)
inline void Mod(int& x) { x>=mod?x-=mod:0;}

LL qpow(LL a,LL b)
{
	LL ans(1);
	while(b)
	{
		if(b&1)ans=ans*a%mod;
		a=a*a%mod;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}

int n,Q,k;
int ver[maxN<<1],nxt[maxN<<1],head[maxN+2],tot;
int A[maxN+2],dfn[maxN+2],son[maxN+2],size[maxN+2],dep[maxN+2],rev[maxN+2],dfst,top[maxN+2],fa[maxN+2];
int sum[maxN<<2],tag[maxN<<2];
void link(int u,int v)
{
	ver[++tot]=v,nxt[tot]=head[u],head[u]=tot;
}
void DFS1(int u,int f)
{
	fa[u]=f;
	dep[u]=dep[f]+1;
	size[u]=1;
	for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
	{
		int v=ver[i];
		if(v==f)continue;
		DFS1(v,u);
		size[u]+=size[v];
		if(size[son[u]]<size[v])son[u]=v;
	}
}
void DFS2(int u,int topf)
{
	dfn[u]=++dfst;
	rev[dfst]=u;
	top[u]=topf;
	if(son[u])DFS2(son[u],topf);
	for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
	{
		int v=ver[i];
		if(v==son[u]||v==fa[u])continue;
		DFS2(v,v);
	}
}
void init()
{
	DFS1(1,0);
	DFS2(1,1);
	for(int i=1;i<=n;++i)
		A[i]=(A[i-1]+qpow(dep[rev[i]],k)-qpow(dep[rev[i]]-1,k)+mod)%mod;
}
void push(int x,int v,int l,int r)
{
	tag[x]+=v;
	sum[x]+=(LL)(A[r]-A[l-1]+mod)*v%mod;
	Mod(sum[x]);
}
void pushdown(int x,int l,int r)
{
	if(tag[x])
	{
		int mid((l+r)>>1);
		push(x<<1,tag[x],l,mid);
		push(x<<1|1,tag[x],mid+1,r);
		tag[x]=0;
	}
}
void add(int x,int l,int r,int L,int R)
{
	if(L<=l&&r<=R)
		return push(x,1,l,r);
	int mid=(l+r)>>1;
	pushdown(x,l,r);
	if(L<=mid)add(x<<1,l,mid,L,R);
	if(mid<R)add(x<<1|1,mid+1,r,L,R);
	sum[x]=sum[x<<1]+sum[x<<1|1],Mod(sum[x]);
}
int query(int x,int l,int r,int L,int R)
{
	if(L<=l&&r<=R)
		return sum[x];
	int mid=(l+r)>>1;
	pushdown(x,l,r);
	int ans(0);
	if(L<=mid)ans+=query(x<<1,l,mid,L,R);
	if(mid<R)ans+=query(x<<1|1,mid+1,r,L,R),Mod(ans);
	return ans;
}
vector<pair<int, int> >q[maxN+2];
int ans[maxN+2];
int main() 
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("xhc.in", "r", stdin);
	freopen("xhc.out", "w", stdout);
#endif
	n=read<int>(),Q=read<int>(),k=read<int>();
	for(int i=2;i<=n;++i)
	{
		int f(read<int>());
		link(f,i);
		link(i,f);
	}
	init();
	for(int i=1;i<=Q;++i)
	{
		int x(read<int>()),y(read<int>());
		q[x].push_back(MP(y,i));
	}
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		int u=i;
		while(u)
		{
			add(1,1,n,dfn[top[u]],dfn[u]);
			u=fa[top[u]];
		}
		for(int j=0;j<SZ(q[i]);++j)
		{
			int u=q[i][j].first,id=q[i][j].second,res=0;
			while(u)
			{
				res+=query(1,1,n,dfn[top[u]],dfn[u]);
				Mod(res);
				u=fa[top[u]];
			}
			ans[id]=res;
		}
	}
	for(int i=1;i<=Q;++i)
		printf("%d\n",ans[i]);
	return 0;
}