半平面交初步

半平面交：

问题简述：

给定一些半平面，求他它们交集（大小，周长，\(\cdots\)）。

半平面的表示：

半平面通常由一些关于直线的不等式给出，比如 \(y\le kx + b\) 半平面就是直线 \(y = kx + b\) 下方的一块区域。

而如果我们钦定半平面在有向直线的左侧，那么我们就可以通过一条有向直线来表示半平面。

struct VecLine//有向直线
{
	Point P;//直线上的某一点
	Vec v;//方向向量
	double ang;//直线的倾斜角

	Line() { }
	Line(Point P, Point W) : P(P) { v = W - P; ang = atan2(v.y, v.x); }
	//P, W为直线上两点，两点确定一条直线，方向为 P->W。

	bool operator < (const Line& B) const { return ang < B.ang; }

	bool Right(Point p) { return dcmp(v.Cross(p - P)) < 0; }//判断一个点是否在该直线的右侧（用叉积）。
} ; 

由于半平面是凸的，凸集的交集也一定是凸的，所以半平面交一定要么没有，是点，是线段，要么是一个凸多边形（或者一块无限区域，即无界多边形，但也是凸的）。

算法

增量法（在线）

复杂度 \(O(n^2)\) 的在线算法，每次增加一条直线就尝试去切割半平面交的多边形，具体实现咕咕咕。

极角排序（离线）

首先把所有直线极角排序，维护一个双端队列，队列里面存了当前半平面交的多边形上的直线以及多边形上的交点。

并且队列里面的直线是关于极角单调的。

由于队列里面直线的单调性，每次加入一条直线后队头和队尾一定是最可能会被切割的部分，这时候只要检查队尾和队头是否被加入的直线所切割，相应地弹出队尾和对头。

然后把加进来的直线从队尾入队时，特判和当前队尾的直线是否平行，如果平行，则保留内部直线，否则直接入队。

计算加入直线和之前队尾直线的交点。

当所有直线加入后根据队头删除无用的队尾直线。

VecLine L[maxN + 2];//半平面（为有向直线左侧）
Point p[maxN + 2];//多边形交集的顶点。
int HalfPlaneIntersection()
{
	int l = 1, r = 0, i = 1;
	for (q[++r] = L[i++]; i <= tot; ++i)//tot是直线的个数
	{
		while (l < r and L[i].Right(p[r - 1])) r--;//队尾直线的“起点”在新直线的右侧，弹出队尾
		while (l < r and L[i].Right(p[l])) l++;//队头直线的“起点”在新直线的右侧，弹出队头
		if (L[i].ang != q[r].ang)//判断新直线和队尾直线是否平行
			q[++r] = L[i];
		else if (L[i].Right(q[r].P))//保留内侧直线
			q[r] = L[i];
		if (l < r)
			p[r - 1] = Intersection(q[r], q[r - 1]);//计算交点
	}
	while (l < r and q[l].Right(p[r - 1])) r--;//合并队尾队头。
	if (r - l <= 1) return 0;//空集
	p[r] = Intersection(q[r], q[l]);//计算队头队尾的交点。
}