[BZOJ2438]杀人游戏

Description

一位冷血的杀手潜入 Na-wiat，并假装成平民。警察希望能在 N 个人里面，查出谁是杀手。警察能够对每一个人
进行查证，假如查证的对象是平民，他会告诉警察，他认识的人， 谁是杀手， 谁是平民。 假如查证的对象是杀
手， 杀手将会把警察干掉。现在警察掌握了每一个人认识谁。每一个人都有可能是杀手，可看作他们是杀手的概
率是相同的。问：根据最优的情况，保证警察自身安全并知道谁是杀手的概率最大是多少？

\(n\le 10^5, m\le 3\times 10^5\)

Solution

假设最优策略查了 \(x\) 个未知身份的人，那么概率就是 \(\frac{n - x}{n}\)

所以我们尽可能的查少的人。

首先，对于一个强连通分量，只要查一个人就可以把这个强连通分量全部安全查完。

所以先粗略考虑把每一个缩完点的一个个dag中入度为0的点查了，那么一定可以把杀手找出来。

然后就会被这个hack：

3 2
2 1
3 1

发现最优不是查2和3，而是仅查2或3。

于是仔细一想，发现若存在至少一个点满足它自己所在的强连通分量大小为1且它连出去的点的入度都 \(> 1\) ，那么这个点是不用查的，所以需要查的人数就会-1。

注意就算存在多个这样的点，查的人数也仅仅只会减少1，因为最后剩下的一定是这些点，而我们无法确定谁是杀手（否则查他们的话会付出更大的代价）。

Code

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <fstream>

typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL;

#define SZ(x) ((int)x.size())
#define ALL(x) (x).begin(), (x).end()
#define MP(x, y) std::make_pair(x, y)
#define DE(x) cerr << x << endl;
#define debug(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#define GO cerr << "GO" << endl;

using namespace std;

inline void proc_status()
{
	ifstream t("/proc/self/status");
	cerr << string(istreambuf_iterator<char>(t), istreambuf_iterator<char>()) << endl;
}
inline int read() 
{
    register int x = 0; register int f = 1; register char c;
    while (!isdigit(c = getchar())) if (c == '-') f = -1;
    while (x = (x << 1) + (x << 3) + (c xor 48), isdigit(c = getchar()));
    return x * f;
}
template<class T> inline void write(T x) 
{
    static char stk[30]; static int top = 0;
    if (x < 0) { x = -x, putchar('-'); }
    while (stk[++top] = x % 10 xor 48, x /= 10, x);
    while (putchar(stk[top--]), top);
}
template<typename T> inline bool chkmin(T &a, T b) { return a > b ? a = b, 1 : 0; }
template<typename T> inline bool chkmax(T &a, T b) { return a < b ? a = b, 1 : 0; }

const int maxN = 2e5 + 2;

int n, m;
int stk[maxN], top;
int low[maxN], dfn[maxN], dfst;
int in[maxN], size[maxN], cnt, col[maxN];
vector<int> g[maxN];

void link(int u, int v) { g[u].push_back(v); }

void tarjan(int u)
{
    int v;
    dfn[u] = low[u] = ++dfst;
    stk[++top] = u;
    for (int i = 0; i < SZ(g[u]); ++i)
    {
        v = g[u][i];
        if (!dfn[v])
            tarjan(v), chkmin(low[u], low[v]);
        else if (!col[v])
            chkmin(low[u], dfn[v]);
    }
    if (low[u] == dfn[u])
    {
        ++cnt;
        do
        {
            v = stk[top--];
            col[v] = cnt;
            size[cnt]++;
        } while (u != v);
    }
}

bool chk(int u)
{
    if (size[col[u]] != 1) return 0;
    if (in[col[u]]) return 0;
    for (int i = 0; i < SZ(g[u]); ++i)
    {
        int v = g[u][i];
        if (in[col[v]] <= 1)
            return 0;
    }
    return 1;
}

int main() 
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("xhc.in", "r", stdin);
    freopen("xhc.out", "w", stdout);
#endif
    n = read(), m = read();
    for (int i = 1; i <= m; ++i) { int u = read(), v = read(); link(u, v); }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) if (!dfn[i]) tarjan(i);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = 0; j < SZ(g[i]); ++j)
            if (col[g[i][j]] != col[i])
                in[col[g[i][j]]]++;
    int ans = 0, delta = 0;
    for (int i = 1; i <= cnt; ++i) if (!in[i]) ans++;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) if (chk(i)) delta++;
    if (delta) printf("%.6lf\n", (double)(n - ans + 1) / n);
    else printf("%.6lf\n", (double) (n - ans) / n);
    return 0;
}