匈牙利算法小结

关于匈牙利算法的小结

二分图定义：

两个非空集合A, B A与B没有交集，同一集合内部没有连边，这个图为二分图，A为左部，B为右部。

判定：

二分图不存在奇环。

用染色法即可。

NOIP2010关押罪犯

二分图最大匹配

二分图没有增广路时，就是最大匹配。

特点：当一个点成为匹配点后，至多找到增广路更换匹配对象，但是绝不会变回非匹配点。

时间复杂度 \(O(nm)\)

匈牙利算法代码框架(模板)
只用从左向右建单向边！！
建议使用vector

题目 && 模型

Round1

1.棋盘覆盖

题解

二分图匹配的0/1要素：

0要素：点能分成两个独立的集合，每个集合内部没有边
1要素：每个点只能有一条匹配边相连

这题将骨牌看做边，格子看做点，建模。

同类题: 車的放置

3.二分图带权匹配

网络流吧。

Round2

1. 二分图最小点覆盖Machine Schedule

定理：二分图最小点覆盖=最大匹配边数。

模型特点：每条边有两个端点，两者至少选一个

同类题Muddy Fields， POJ3041

2. 二分图最大独立集骑士放置

定理：二分图最大独立集＝节点数－最大匹配数

3. \({\rm DAG}\)最小路径点覆盖

　　给一个 \({\rm DAG}\) ，要求用尽量少的不相交的简单的路径，覆盖 \({\rm DAG}\) 的所有顶点。

定理：\({\rm DAG}\)的最小路径点覆盖包含的路径条数 = 点数 - 拆点二分图最大匹配数

拆点二分图：设 \({\rm DAG}\) 为 \({\rm G=(V,E)}\)，拆点二分图为 \({\rm G'=(V',E')}\) 将G中的每一个点 \(x\) 拆成左部节点 \(x\) 与右部节点 \(x+n\) , 对于 \({\rm E(x, y)}\) 在 \({\rm G'}\) 中连单向边 \({\rm E'(x, y + n)}\) , 得到的 \({\rm G'}\) 就是拆点二分图。

同类题：魔术球问题题解我的代码