莫比乌斯反演(理论)
莫比乌斯反演
直接上结论：
若有
则有
简而言之就是
若 \(g=f*1\) , 则有 \(f=\mu*g\) (\(“*”\)为狄利克雷卷积)
若看懂了就可直接到文章末尾：莫比乌斯反演的另一种形式。
前置知识
零:\([P]\)艾弗森括号
\(P\)为一命题:
\([P]=\begin{cases} 1\ \ 命题为真\\ 0\ \ 命题为假 \end{cases}\)
一：数论函数
本文的函数都是指数论函数，其定义域为非负整数，值域为实数(一般为正整数).
\(f(n), g(n)\) 为数论函数, 定义其运算：
-
\(f(n) + g(n) = (f + g)(n)\)
-
\(x×f(n)=(x\times f)(n)\)
二：狄利克雷卷积
定义狄利克雷卷积为 \(“*”\), \(f*g\) 叫这两个函数的卷积
狄利克雷卷积的性质:
- 交换律\(\ f*g=g*f\)
- 结合律\(\ (f*g)*h=f*(g*h)\)
- 分配律\(\ (f+g)*h=f*h+g*h\)
- 不知道什么律 \(\ x\times (f*g)=(x\times f)*g\)
以上性质请自行证明.
三：\(1(n)\) 与 \(\epsilon(n)\)
定义 \(1(n)=1\), 1是一个数论函数.
- 性质： \((f*1)(n)=\sum_{d|n}f(d)\times 1(\frac{n}{d})=\sum_{d|n}f(d)\)
定义数论函数 \(\epsilon(n)=[n=1]\)
- 性质： \((\epsilon \ * \ f)=f\)
- 证明：
\((\epsilon \ * \ f)(n)\)
\(=\sum_{d|n}f(d)\times\epsilon(\frac{n}{d})\)
当\(n为1\)时，显然成立.
当\(n>1\)时，
\(=\sum_{d|n,d\ne n}f(d)\times 0 + f(n)\times1\)
\(=f(n)\)
四：\(\mu(n)\)
定义莫比乌斯函数\(\mu=\begin{cases}(-1)^t, n=p_1\times p_2\ ...\ p_t\ 且\ p_i\ 互不相同\\ 0,\ others \end{cases}\)
定理：\(\mu\ *\ 1=\epsilon\)
证明：
\((\mu\ *\ 1)(n)\)
\(=\sum_{d|n}\mu(d)\)
\(n=1\) 时显然成立,
\(n>1\) 时，\(\omega(n)\) 为 n 质因子中互不相同的数的个数
\(=\sum_{i=0}^{\omega(n)}C_{\omega(n)}^{i}\times (-1)^i\) （考虑贡献）
\(=\sum_{i=0}^{\omega(n)}C_{\omega(n)}^{i}\times (-1)^i\times (1)^{(\omega(n)-i)}\)
由二项式定理：\((a+b)^m=\sum_{i=0}^{m}C_m^ia^ib^{(m-i)}\)
则原式\(=(-1+1)^{\omega(n)}=0\), 证毕.
至此，我们可以来证明了
若有
则有
证明：
即证明若 \(g=f*1\) , 则有 \(f=\mu*g\)
将\(g=f*1\)带人，
\(\mu*g=\mu*(f*1)=(1*\mu)*(f)=\epsilon * f=f\)
证毕
莫比乌斯反演的另一种形式：
一：定义运算 \(f\oplus g\) :
这里的除法不是整除！！！（保证 \(j\) 为 \(i\) 的倍数）
或者也可以写成：
注意这东西是没有交换律的。
\(\epsilon \oplus f = f\) (自己证明一下)
二：与狄利克雷卷积 \(“ * ”\) 的关系：
证明：
三：反演
有上面那个结论就很好证明了：
