莫比乌斯反演(理论)

莫比乌斯反演

直接上结论：

若有

\[g(n)=\sum_{d|n}f(n) \]

则有

\[f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)\ g(\frac{n}{d}) \]

简而言之就是

若 \(g=f*1\) , 则有 \(f=\mu*g\) (\(“*”\)为狄利克雷卷积)

若看懂了就可直接到文章末尾：莫比乌斯反演的另一种形式。

前置知识

零:\([P]\)艾弗森括号

\(P\)为一命题:

\([P]=\begin{cases} 1\ \ 命题为真\\ 0\ \ 命题为假 \end{cases}\)

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一：数论函数

本文的函数都是指数论函数，其定义域为非负整数，值域为实数(一般为正整数).

\(f(n), g(n)\) 为数论函数, 定义其运算：

• \(f(n) + g(n) = (f + g)(n)\)

• \(x×f(n)=(x\times f)(n)\)

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二：狄利克雷卷积

定义狄利克雷卷积为 \(“*”\), \(f*g\) 叫这两个函数的卷积

\[(f*g)(n)=\sum_{d|n}{f(d)\times g(\frac{n}{d})} \]

狄利克雷卷积的性质:

• 交换律\(\ f*g=g*f\)
• 结合律\(\ (f*g)*h=f*(g*h)\)
• 分配律\(\ (f+g)*h=f*h+g*h\)
• 不知道什么律 \(\ x\times (f*g)=(x\times f)*g\)

以上性质请自行证明.

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三：\(1(n)\) 与 \(\epsilon(n)\)

定义 \(1(n)=1\), 1是一个数论函数.

• 性质： \((f*1)(n)=\sum_{d|n}f(d)\times 1(\frac{n}{d})=\sum_{d|n}f(d)\)

定义数论函数 \(\epsilon(n)=[n=1]\)

• 性质： \((\epsilon \ * \ f)=f\)
• 证明：
  \((\epsilon \ * \ f)(n)\)

\(=\sum_{d|n}f(d)\times\epsilon(\frac{n}{d})\)

当\(n为1\)时，显然成立.

当\(n>1\)时，

\(=\sum_{d|n,d\ne n}f(d)\times 0 + f(n)\times1\)

\(=f(n)\)

四：\(\mu(n)\)

定义莫比乌斯函数\(\mu=\begin{cases}(-1)^t, n=p_1\times p_2\ ...\ p_t\ 且\ p_i\ 互不相同\\ 0,\ others \end{cases}\)

定理：\(\mu\ *\ 1=\epsilon\)

证明：

\((\mu\ *\ 1)(n)\)

\(=\sum_{d|n}\mu(d)\)

\(n=1\) 时显然成立,

\(n>1\) 时，\(\omega(n)\) 为 n 质因子中互不相同的数的个数

\(=\sum_{i=0}^{\omega(n)}C_{\omega(n)}^{i}\times (-1)^i\) （考虑贡献）

\(=\sum_{i=0}^{\omega(n)}C_{\omega(n)}^{i}\times (-1)^i\times (1)^{(\omega(n)-i)}\)

由二项式定理：\((a+b)^m=\sum_{i=0}^{m}C_m^ia^ib^{(m-i)}\)

则原式\(=(-1+1)^{\omega(n)}=0\), 证毕.

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至此，我们可以来证明了

若有

\[g(n)=\sum_{d|n}f(n) \]

则有

\[f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)\ g(\frac{n}{d}) \]

证明：

即证明若 \(g=f*1\) , 则有 \(f=\mu*g\)

将\(g=f*1\)带人，

\(\mu*g=\mu*(f*1)=(1*\mu)*(f)=\epsilon * f=f\)

证毕

莫比乌斯反演的另一种形式：

一：定义运算 \(f\oplus g\) :

\[(f\oplus g)(x) = \sum_{x = \frac{j}{i}}f(i)g(j) \]

这里的除法不是整除！！！（保证 \(j\) 为 \(i\) 的倍数）

或者也可以写成：

\[(f\oplus g)(x) = \sum_{x|d}f(\frac{d}{x})g(d) \]

注意这东西是没有交换律的。

\(\epsilon \oplus f = f\) (自己证明一下)

二：与狄利克雷卷积 \(“ * ”\) 的关系：

\[(f*g)\oplus h=f\oplus(g\oplus h) \]

证明：

\[\begin{aligned} ((f*g)\oplus h)(m)&=\sum_{m=\frac{k}{d}}\left(\sum_{d=ij}f(i)g(j)\right)h(k)\\ &=\sum_{m=\frac{k}{ij}}f(i)g(j)h(k)\\ &=\sum_{m=\frac{\left(\frac{k}{j}\right)}{i}}f(i)\left((g\oplus h)(\frac{k}{j})\right)\\ &=(f\oplus(g\oplus h))(m) \end{aligned} \]

三：反演

\[f(x) = \sum_{x|d}g(d) \iff g(x) = \sum_{x|d}\mu(\frac{d}{x})f(d) \]

有上面那个结论就很好证明了：

\[\begin{aligned} f &=1\oplus g\\ \mu \oplus f &=\mu \oplus (1\oplus g)\\ (\mu *1)\oplus g &=\mu \oplus f\\ \epsilon \oplus g &=\mu \oplus f\\ g &= \mu \oplus f \end{aligned} \]

参考:(https://lx-2003.blog.luogu.org/mobius-inversion)