[LeetCode] 120. Triangle

Given a triangle array, return the minimum path sum from top to bottom.

For each step, you may move to an adjacent number of the row below. More formally, if you are on index i on the current row, you may move to either index i or index i + 1 on the next row.

Example 1:

Input: triangle = [[2],[3,4],[6,5,7],[4,1,8,3]]
Output: 11
Explanation: The triangle looks like:
   2
  3 4
 6 5 7
4 1 8 3
The minimum path sum from top to bottom is 2 + 3 + 5 + 1 = 11 (underlined above).

Example 2:

Input: triangle = [[-10]]
Output: -10

Constraints:

• 1 <= triangle.length <= 200
• triangle[0].length == 1
• triangle[i].length == triangle[i - 1].length + 1
• -104 <= triangle[i][j] <= 104

Follow up: Could you do this using only O(n) extra space, where n is the total number of rows in the triangle?

三角形最小路径和。

给定一个三角形 triangle ，找出自顶向下的最小路径和。

每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。相邻的结点 在这里指的是 下标 与 上一层结点下标 相同或者等于 上一层结点下标 + 1 的两个结点。也就是说，如果正位于当前行的下标 i ，那么下一步可以移动到下一行的下标 i 或 i + 1 。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/triangle
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首先将数组变成一个直角三角形这样易于理解。

[2]

[3,4]

[6,5,7]

[4,1,8,3]

思路是自下而上的动态规划，我参考了如下两个帖子。

• 引用一
• 引用二

首先我们看一下暴力解怎么做。对于任意一个位置 (i, j) 来说，从这个点出发去到三角形最底层的最小路径取决于当前这个点的值 triangle.get(i).get(j) + 下一层这个点能走得到的两个点中val较小的那一个 Math.min(triangle.get(i + 1).get(j), triangle.get(i + 1).get(j + 1))。有了这个递推式，我们可以得出递归的代码（超时）。

Java实现

class Solution {
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        return dfs(triangle, 0, 0);
    }

    private int dfs(List<List<Integer>> triangle, int i, int j) {
        if (i == triangle.size()) {
            return 0;
        }
        return Math.min(dfs(triangle, i + 1, j), dfs(triangle, i + 1, j + 1)) + triangle.get(i).get(j);
    }
}

 

这里我们用memo做一下优化。

Java实现

class Solution {
    Integer[][] memo;

    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        memo = new Integer[triangle.size()][triangle.size()];
        return dfs(triangle, 0, 0);
    }

    private int dfs(List<List<Integer>> triangle, int i, int j) {
        if (i == triangle.size()) {
            return 0;
        }
        if (memo[i][j] != null) {
            return memo[i][j];
        }
        return memo[i][j] = Math.min(dfs(triangle, i + 1, j), dfs(triangle, i + 1, j + 1)) + triangle.get(i).get(j);
    }
}

 

题目求的是自上而下的最小路径和，那么也就意味着在每两个相邻的数字之间，要找出一个相对小的数字，才有可能使得整个路径最小，但是如果自上而下这样找的话，其实并不一定能找到整个路径最小的。所以这里创建一个长度为 triangle.size() + 1 的数组记录最后动态规划的结果。从最后一行开始扫描，在 DP 数组的每一个位置上的值是当前位置 i 的数字 + DP数组里面 dp[i] 和 dp[i + 1] 的较小的值。最后返回的是 dp[0]。图示如下

时间O(n^2)

空间O(n)

Java实现

class Solution {
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        int[] res = new int[triangle.size() + 1];
        for (int i = triangle.size() - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = 0; j < triangle.get(i).size(); j++) {
                res[j] = Math.min(res[j], res[j + 1]) + triangle.get(i).get(j);
            }
        }
        return res[0];
    }
}

 

JavaScript实现

/**
 * @param {number[][]} triangle
 * @return {number}
 */
var minimumTotal = function(triangle) {
    // corner case
    if (triangle === null || triangle.length === 0) {
        return 0;
    }

    // normal case
    let res = new Array(triangle.length + 1).fill(0);
    for (let i = triangle.length - 1; i >= 0; i--) {
        for (let j = 0; j < triangle[i].length; j++) {
            res[j] = Math.min(res[j], res[j + 1]) + triangle[i][j];
        }
    }
    return res[0];
};

 

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