[LeetCode] 70. Climbing Stairs
You are climbing a staircase. It takes n steps to reach to the top.
Each time you can either climb 1 or 2 steps. In how many distinct ways can you climb to the top?
Note: Given n will be a positive integer.
Example 1:
Input: 2
Output: 2
Explanation: There are two ways to climb to the top.
- 1 step + 1 step
- 2 steps
Example 2:
Input: 3
Output: 3
Explanation: There are three ways to climb to the top.
- 1 step + 1 step + 1 step
- 1 step + 2 steps
- 2 steps + 1 step
Constraints:
1 <= n <= 45
爬楼梯。
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。 每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢? 注意:给定 n 是一个正整数。来源:力扣(LeetCode)
链接:https://leetcode-cn.com/problems/climbing-stairs
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这道题有两种解法,一种是数学解法,一种是动态规划。
思路一 - 数学解法
首先是数学解法,这个题本质上是斐波那契数列。当输入为1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10时,观察输出为1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89。所以做法就很直观了。
复杂度
时间O(n)
空间O(1)
代码
Java实现
class Solution { public int climbStairs(int n) { // corner case if (n <= 1) { return n; } // normal case int zero = 1; int first = 1; int cur = 0; for (int i = 2; i <= n; i++) { cur = zero + first; zero = first; first = cur; } return cur; } }
思路二 - 递归 + memorization
启发思考:寻找子问题 假设 n = 9。 我们要解决的问题是从 0 爬到 9 有多少种不同的方法。 分类讨论: 如果最后一步爬了 1 个台阶,那么我们得先爬到 8,要解决的问题缩小成:从 0 爬到 8 有多少种不同的方法。 如果最后一步爬了 2 个台阶,那么我们得先爬到 7,要解决的问题缩小成:从 0 爬到 7 有多少种不同的方法。 由于这两种情况都会把原问题变成一个和原问题相似的、规模更小的子问题,所以可以用递归解决。 注 1:从大往小思考,主要是为了方便把递归翻译成递推。从小往大思考也是可以的。 注 2:动态规划有「选或不选」和「枚举选哪个」两种基本思考方式。在做题时,可根据题目要求,选择适合题目的一种来思考。本题用到的是「枚举选哪个」。 作者:灵茶山艾府 链接:https://leetcode.cn/problems/climbing-stairs/description/ 来源:力扣(LeetCode) 著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权,非商业转载请注明出处。
根据上面的思路,我们发现,递归解决一个规模较大的问题,可以先看最后一步怎么解决,然后把这个问题转化为一个和原问题相似的、规模更小的子问题。所以对这道题来说,解决爬到第 n 层楼的办法,且题目定规我们一次只能爬一层或者两层,所以爬到第 n 层楼的办法就是去看爬到第 n-1 层楼和爬到第 n-2 层楼的组合数。这里我们还需要用一个 memo 数组记录中间结果。
复杂度
时间O(n)
空间O(n)
代码
Java实现
class Solution { int[] memo; public int climbStairs(int n) { memo = new int[n + 1]; return helper(n); } private int helper(int i) { if (i <= 1) { return 1; } if (memo[i] != 0) { return memo[i]; } return memo[i] = helper(i - 1) + helper(i - 2); } }
思路三 - 动态规划
如果理解了递归怎么做,那么动态规划的解法就是递归解法的 1:1
翻译。
dp[i] 数组的定义是跑到第 i 层楼的时候,上楼梯的组合数是多少。几个初始值是 dp[0] = 1, dp[1] = 1。因为每次既可以爬一层楼,也可以爬两层楼,所以当你需要知道第i层楼的爬法的时候,你需要看的是我爬到 i - 2 层楼有几种爬法和我爬到 i - 1 层楼有几种爬法。所以状态转移方程就是 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]。
复杂度
时间O(n)
空间O(n)
代码
Java实现
class Solution { public int climbStairs(int n) { int[] dp = new int[n + 1]; dp[0] = 1; dp[1] = 1; for (int i = 2; i <= n; i++) { dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]; } return dp[n]; } }
javascript实现
/** * @param {number} n * @return {number} */ var climbStairs = function (n) { if (n === 0) return 0; let dp = [n + 1]; dp[0] = 1; dp[1] = 1; for (let i = 2; i <= n; i++) { dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]; } return dp[n]; };
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