素数相关

筛法

埃氏筛

$O(n\log\log n)$

inline void primes(int n)
{
    memset(v,0,sizeof v);
    for(int i = 2;i <= n;i++){
        if(v[i]) continue;
        p.push_back(i);
        for(int j=i;j<=n/i;j++) v[j*i]=1;
    }
}

线性筛

$O(n)$

inline void xxs(int n)
{
    memset(v,0,sizeof v);
    m=0;
    for(int i = 2;i <= n;i++){
        if(!v[i]) p[++m]=i;
        for(int j = 1;j <= m;j++){
            if(p[j]*i>n) break;
            v[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0)break;
        }
    }
}

欧拉函数

$\varphi(x)$ 表示小于等于 $x$ 的正整数中与 $x$ 互质的数的数量。规定 $\varphi(1) = 1$ 。

性质

1. 若 $p$ 为质数， $\varphi(p^n) = p^{n-1}(p-1)$
2. 若 $a|x$ ，$\varphi(ax)=a\varphi(x)$
3. 若 $a,b$ 互质，$\varphi(a)\varphi(b)=\varphi(ab)$

性质 $1$ 证明：

小于等于 $p^n$ 的正整数中，不与 $p^n$ 互质的只有 $p,2p,3p,...,p^{n-1}p$ 共 $p^{n-1}$ 个数，$\varphi(p^n)=p^n-p^{n-1}=p^{n-1}(p-1)$ 。

求欧拉函数

单次求欧拉函数

设 $p_i$ 表示 $x$ 的质因数。

$$\varphi(x)=x\prod\dfrac{p_i-1}{p_i}$$

将 $x$ 质因分解即可，时间复杂度 $O(\sqrt n)$ 。

---

证明：

$$x=\prod {p_i}^{k_i}$$

由性质 $3$ 可得：

$$\varphi(x)=\prod\varphi({p_i}^{k_i})$$

由性质 $2$ 可变为：

$$\begin{aligned}\varphi(x) & =\prod {p_i}^{k_i-1}(p_i-1)\\& =\prod {p_i}^{k_i}\dfrac{1}{p_i}(p_i-1)\end{aligned}$$

将 ${p_i}^{k_i}$ 提出来得 $x$ ，即：

$$\varphi(x)=x\prod\dfrac{p_i-1}{p_i}$$

求 1~n 的欧拉函数

与线性筛相结合。

• 若 $x$ 为质数，$\varphi(x)=x-1$ 。（性质 $1$ ）
• 否则对于 $x$ 的质因数 $p$ ，$\varphi(x)=\begin{cases}p\cdot\varphi\left(\dfrac{x}{p}\right) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(p|\dfrac{x}{p}\right)\ \ \ \ 性质 2\\\varphi(p)\cdot\varphi \left(\dfrac{x}{p}\right) \ \ \ \left(p\nmid\dfrac{x}{p}\right)\ \ 性质3\end{cases}$

时间复杂度 $O(N)$

void primes(int n)
{
    memset(v,0,sizeof v);
    m=0;
    phi[1]=1;
    for(int i = 2;i<= n;i++){
        if(!v[i]) p[++m]=i,phi[i]=i-1;
        for(int j = 1;j <= m;j++){
            if(p[j]*i>n) break;
            v[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0) {phi[i*p[j]]=p[j]*phi[i];break;}
            else phi[i*p[j]]=phi[p[j]]*phi[i];
        }
    }
}

欧拉定理

若正整数 $a$ 与 $m$ 互质，则

$$a^{\varphi(m)}\equiv 1\pmod m$$

当 $m$ 为质数时，退化为费马小定理 $a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$ 。

推论：

$$a^b\equiv a^{b\mod \varphi(m)} \pmod m$$

利用这个推论可以在 $b$ 很大的情况下求出 $a^b\pmod m$ 。

扩展欧拉定理

若 $b\ge\varphi(m)$ ，则：

$$a^b\equiv a^{b\mod \varphi(m)+\varphi(m)} \pmod m$$