素数相关
筛法
埃氏筛
\(O(n\log\log n)\)
inline void primes(int n)
{
memset(v,0,sizeof v);
for(int i = 2;i <= n;i++){
if(v[i]) continue;
p.push_back(i);
for(int j=i;j<=n/i;j++) v[j*i]=1;
}
}
线性筛
\(O(n)\)
inline void xxs(int n)
{
memset(v,0,sizeof v);
m=0;
for(int i = 2;i <= n;i++){
if(!v[i]) p[++m]=i;
for(int j = 1;j <= m;j++){
if(p[j]*i>n) break;
v[i*p[j]]=1;
if(i%p[j]==0)break;
}
}
}
欧拉函数
\(\varphi(x)\) 表示小于等于 \(x\) 的正整数中与 \(x\) 互质的数的数量。规定 \(\varphi(1) = 1\) 。
性质
- 若 \(p\) 为质数， \(\varphi(p^n) = p^{n-1}(p-1)\)
- 若 \(a|x\) ，\(\varphi(ax)=a\varphi(x)\)
- 若 \(a,b\) 互质，\(\varphi(a)\varphi(b)=\varphi(ab)\)
性质 \(1\) 证明：
小于等于 \(p^n\) 的正整数中，不与 \(p^n\) 互质的只有 \(p,2p,3p,...,p^{n-1}p\) 共 \(p^{n-1}\) 个数，\(\varphi(p^n)=p^n-p^{n-1}=p^{n-1}(p-1)\) 。
求欧拉函数
单次求欧拉函数
设 \(p_i\) 表示 \(x\) 的质因数。
\[\varphi(x)=x\prod\dfrac{p_i-1}{p_i}
\]
将 \(x\) 质因分解即可，时间复杂度 \(O(\sqrt n)\) 。
证明：
\[x=\prod {p_i}^{k_i}
\]
由性质 \(3\) 可得：
\[\varphi(x)=\prod\varphi({p_i}^{k_i})
\]
由性质 \(2\) 可变为：
\[\begin{aligned}\varphi(x) & =\prod {p_i}^{k_i-1}(p_i-1)\\& =\prod {p_i}^{k_i}\dfrac{1}{p_i}(p_i-1)\end{aligned}
\]
将 \({p_i}^{k_i}\) 提出来得 \(x\) ，即：
\[\varphi(x)=x\prod\dfrac{p_i-1}{p_i}
\]
求 1~n 的欧拉函数
与线性筛相结合。
- 若 \(x\) 为质数，\(\varphi(x)=x-1\) 。（性质 \(1\) ）
- 否则对于 \(x\) 的质因数 \(p\) ，\(\varphi(x)=\begin{cases}p\cdot\varphi\left(\dfrac{x}{p}\right) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(p|\dfrac{x}{p}\right)\ \ \ \ 性质 2\\\varphi(p)\cdot\varphi \left(\dfrac{x}{p}\right) \ \ \ \left(p\nmid\dfrac{x}{p}\right)\ \ 性质3\end{cases}\)
时间复杂度 \(O(N)\)
void primes(int n)
{
memset(v,0,sizeof v);
m=0;
phi[1]=1;
for(int i = 2;i<= n;i++){
if(!v[i]) p[++m]=i,phi[i]=i-1;
for(int j = 1;j <= m;j++){
if(p[j]*i>n) break;
v[i*p[j]]=1;
if(i%p[j]==0) {phi[i*p[j]]=p[j]*phi[i];break;}
else phi[i*p[j]]=phi[p[j]]*phi[i];
}
}
}
欧拉定理
若正整数 \(a\) 与 \(m\) 互质，则
\[a^{\varphi(m)}\equiv 1\pmod m
\]
当 \(m\) 为质数时，退化为费马小定理 \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod p\) 。
推论：
\[a^b\equiv a^{b\mod \varphi(m)} \pmod m
\]
利用这个推论可以在 \(b\) 很大的情况下求出 \(a^b\pmod m\) 。
扩展欧拉定理
若 \(b\ge\varphi(m)\) ，则：
\[a^b\equiv a^{b\mod \varphi(m)+\varphi(m)} \pmod m
\]
