7*7的五子棋，博弈树的构造与节点数

7*7的五子棋，博弈树的构造与节点数

一、已知与假设：

假设有一个7*7的五子棋棋盘。

第零步：是个空盘。

第一步：黑方先走，落子有几种地方？49种。

第二步：无论黑方哪一种落子，第二步白方一般会有几个地方可以选择落子？48种？不，应该是49*48种。因为第一步的每一种落子情况，都会有一个48种走法相对应。

我们把第零步、第一步、第二步的每一走子后的棋盘状态，作为一个节点，走子过程作为节点间的连线，就可以从第零步构成一棵树。

。。。。。。。

依次类推下去，所有的叶子节点都是出现五子相连的胜出局面。

二、问题：这个树的节点个数是多少？

提示：

1.未剪枝的博弈树：博弈树的根节点，就是第零步的局面。树的第一层节点有49个，对应49种下棋局面。第二层节点数是（49）*48=2352个。第三层节点数是（49*48）*47=110544个。第四层节点数是（49*48*47）*46=5085024个。第五层节点数是（上一层节点数）*45=228826080个。.......依次下去如果还没有叶子节点（即没有五子相连的局面出现），则第n层的节点数应该是（上一层节点数）*（49-n+1）。如果布满全盘都没有五子相连的胜方出现，则这个数的层数为49层，第49层的节点个数是（第48层节点数）*1。

2.剪枝过程。1）把出现胜方出现的下层节点分支剪掉。2）进一步把不会出现的局面分支也去掉。