poj 3744 概率dp+矩阵快速幂

题意：在一条布满地雷的路上，你现在的起点在1处。在N个点处布有地雷，1<=N<=10。地雷点的坐标范围：[1,100000000].

每次前进p的概率前进一步，1-p的概率前进1-p步。问顺利通过这条路的概率。就是不要走到有地雷的地方。

链接：点我

 

设dp[i]表示到达i点的概率，则 初始值 dp[1]=1.

很容易想到转移方程： dp[i]=p*dp[i-1]+(1-p)*dp[i-2];

但是由于坐标的范围很大，直接这样求是不行的，而且当中的某些点还存在地雷。

 

 

N个有地雷的点的坐标为 x[1],x[2],x[3]```````x[N].

我们把道路分成N段：

1~x[1];

x[1]+1~x[2];

x[2]+1~x[3];

`

 

x[N-1]+1~x[N].

 

转移矩阵：
  dp[i]    | p ,1-p  |    dp[i-1]
            =|            |*
dp[i-1]   | 1 , 0    |   dp[i-2]

 

这样每一段只有一个地雷。我们只要求得通过每一段的概率。乘法原理相乘就是答案。

对于每一段，通过该段的概率等于1-踩到该段终点的地雷的概率。

 

就比如第一段 1~x[1].  通过该段其实就相当于是到达x[1]+1点。那么p[x[1]+1]=1-p[x[1]].

但是这个前提是p[1]=1,即起点的概率等于1.对于后面的段我们也是一样的假设，这样就乘起来就是答案了。

 

对于每一段的概率的求法可以通过矩阵乘法快速求出来。

 

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<map>
using namespace std;
#define MOD 1000000007
const int INF=0x3f3f3f3f;
const double eps=1e-5;
typedef long long ll;
#define cl(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define ts printf("*****\n");
const int MAXN=1005;
int n,m,tt,x[MAXN],dp[MAXN];
struct Matrix
{
    double mat[2][2];
};
Matrix mul(Matrix a,Matrix b)
{
    Matrix ret;
    for(int i=0;i<2;i++)
      for(int j=0;j<2;j++)
      {
          ret.mat[i][j]=0;
          for(int k=0;k<2;k++)
            ret.mat[i][j]+=a.mat[i][k]*b.mat[k][j];
      }
    return ret;
}
Matrix pow_M(Matrix a,int n)
{
    Matrix ret;
    memset(ret.mat,0,sizeof(ret.mat));
    for(int i=0;i<2;i++)ret.mat[i][i]=1;
    Matrix temp=a;
    while(n)
    {
        if(n&1)ret=mul(ret,temp);
        temp=mul(temp,temp);
        n>>=1;
    }
    return ret;
}
int main()
{
    int i,j,k;
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("1.in","r",stdin);
    #endif
    double p;
    while(scanf("%d%lf",&n,&p)!=EOF)
    {
        double ans=1;
        for(i=0;i<n;i++)    scanf("%d",x+i);
        sort(x,x+n);
        Matrix a,b;
        a.mat[0][0]=p;
        a.mat[0][1]=1-p;
        a.mat[1][0]=1;
        a.mat[1][1]=0;
        b=pow_M(a,x[0]-1);
        ans*=(1-b.mat[0][0]);
        for(i=1;i<n;i++)
        {
            if(x[i]==x[i-1])    continue;
            b=pow_M(a,x[i]-x[i-1]-1);
            ans*=(1-b.mat[0][0]);
        }
        printf("%.7f\n",ans);
    }
}