牛客国庆集训 纸牌游戏 [概率]

一、题意

某个游戏体系中共有N种卡牌，其中M种是稀有的。小贝每次和电脑对决获胜之后都会有一个抽卡机会，这时系统会随机从N种卡中选择一张给小贝。普通卡可能多次出现，而稀有卡牌不会被重复抽到。小贝希望收集到K种稀有卡牌，她想知道期望需要多少次获胜才能实现这个目标。

二、分析

2.1前置知识

独立重复试验的数学期望一个例子：一次射箭射中的概率为p，连续射击直到射中，射箭次数X的概率分布为\[P\left( {X = k} \right) = {\left( {1 - p} \right)^{k - 1}}p\]

可以求得其数学期望为\[E\left( X \right) = \sum\limits_{k = 1}^\infty  {k{{\left( {1 - p} \right)}^{k - 1}}p = p\sum\limits_{k = 1}^\infty  {k{{\left( {1 - p} \right)}^k} = \frac{1}{p}} } \]

2.2本题思路

原题意叙述的不清楚，应该是一共N张卡牌，其中M张为稀有卡；对卡牌做如下操作：不断在牌堆中取牌，取到普通牌后放回，取到稀有牌后不放回，直到取到K张稀有牌为止，求完成这一目标的期望操作数。

由于取出普通牌会放回，所以取出普通牌后不会改变在剩余牌堆中取出稀有牌的概率；所以将事件"在牌堆中取出K张稀有牌"表示为事件X，事件${x_i}$表示"共N-i张牌，其中M-i张稀有牌的牌堆中取到一张稀有牌"，根据前置知识的分析，一次事件${x_i}$就对应一次射箭的场景；

那么事件X可以表示为$X = \sum\limits_{i = 0}^{k - 1} {{x_i}}$，根据期望的可加性有$ans = \sum\limits_{i = 0}^{k - 1} {\frac{{N - i}}{{M - i}}}$

三、代码

# include <iostream>
# include <cstdio>
using namespace std;
int T,N,M,K;
void Init()
{
    scanf("%d%d%d",&N,&M,&K);
}
double Solve()
{
    double res = 0;
    for(int i=0;i<K;i++)
        res+=((double)(N-i))/((double)(M-i));
    return res;
}
int main()
{
    scanf("%d",&T);
    for(int i=1;i<=T;i++)
    {
        Init();
        double ans = Solve();
        printf("Case #%d: %f\n",i,ans);
    }
    return 0;
}