高斯消元

刚才想着把算法复杂度降为O(n^2)，但其实对于第i+1行~第n行加上第k行*一个系数，第k行的各个数的值不是相等的，是我想多了……………………

 

程序：

AX=B，已知A,B，求X

A(i,j) i>=j 都不用处理

 

1.化为上三角矩阵 (实际上是A(i,j) [i>=j] 被忽略)

2.根据上三角矩阵求出结果X1~Xn

 

时间复杂度：

对于“ a[j][k]+=value*a[i][k]; ”

(n-1)*n + (n-2)*(n-1) + … +  1*2 = (n-1)*n*(n+1)/3

 

对于“ a[j][n+1]-=x[i]*a[j][i]; ”

(n-1) + (n-2) + … + 1 = (n-1)*n/2

 

！！！有时更快的方法：

CA=A' (其中A’为上文所说的上三角矩阵)

其中C(j,i)=-A(j,i)/A(i,i)    [j>i]　　即把第i行的部分数加入第i+1行~第n行，

然后其它的值为0，因为无意义。

矩阵乘法的时间复杂度为O(n^r) r=2.376 etc.

 

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#define cha 1e-10

double a[1000][1000],x[1000];
int main()
{
    long n,i,j,k;
    double temp,value;
    scanf("%ld",&n);
    for (i=1;i<=n;i++)
        for (j=1;j<=n;j++)
            scanf("%lf",&a[i][j]);
    for (i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lf",&a[i][n+1]);

    for (i=1;i<=n;i++)
    {
        //找到第i列从第i行开始第一个值不为0的数
        if (fabs(a[i][i])<cha)
        {
            for (j=i+1;j<=n;j++)
                if (fabs(a[j][i])>cha)
                    break;
            //交换第i行和第j行
            for (k=1;k<=n;k++)
            {
                temp=a[i][k];
                a[i][k]=a[j][k];
                a[j][k]=temp;
            }
        }
        for (j=i+1;j<=n;j++)
        {
            value=-a[j][i]/a[i][i]; //避免后面“a[j][k]-=value*a[i][k];”求多次补码
            for (k=i+1;k<=n+1;k++)  //n+1:结果也要进行处理
                a[j][k]+=value*a[i][k];
        }
    }
    for (i=n;i>=1;i--)
    {
        x[i]=a[i][n+1]/a[i][i];
        for (j=i-1;j>=1;j--)
            a[j][n+1]-=x[i]*a[j][i];
    }
    for (i=1;i<=n;i++)
        printf("%.2lf ",x[i]);
    return 0;
}
/*
3
2 1 1
6 2 1
-2 2 1
1 -1 7

-1.00 2.00 1.00
*/