约瑟夫问题(猴子选王)——多种解法
1.数组
2.链表
3.数学方法求最后一个人
4.数学方法求第k个人
1.数组
1 #include <stdio.h> 2 #include <stdlib.h> 3 4 int main() 5 { 6 int next[1000],n,s,i,j,cur=1; 7 scanf("%d%d",&n,&s); 8 if (s==1) 9 { 10 for (i=1;i<=n;i++) 11 printf("%d ",i); 12 return 0; 13 } 14 for (i=1;i<n;i++) 15 next[i]=i+1; 16 next[n]=1; 17 for (i=1;i<=n;i++) 18 { 19 for (j=1;j<s-1;j++) 20 cur=next[cur]; 21 printf("%d ",next[cur]); 22 next[cur]=next[next[cur]]; 23 cur=next[cur]; 24 } 25 return 0; 26 }
2.链表
1 ·#include <stdio.h> 2 #include <stdlib.h> 3 #include <malloc.h> 4 5 int main() 6 { 7 struct node 8 { 9 int num; 10 struct node * next; 11 }; 12 struct node *line,*temp,*cur; 13 int n,m,i,j; 14 scanf("%d%d",&n,&m); 15 if (m==1) 16 { 17 for (i=1;i<=n;i++) 18 printf("%d ",i); 19 return 0; 20 } 21 line=(struct node *) malloc (sizeof(struct node)); 22 //line=new node; 23 line->num=1; 24 cur=line; 25 for (i=2;i<=n;i++) 26 { 27 temp=(struct node *) malloc (sizeof(struct node)); 28 //temp=new node; 29 temp->num=i; 30 line->next=temp; 31 line=temp; 32 } 33 line->next=cur; 34 for (i=1;i<=n;i++) 35 { 36 for (j=1;j<m-1;j++) 37 cur=cur->next; 38 printf("%d ",cur->next->num); 39 cur->next=cur->next->next; 40 cur=cur->next; 41 } 42 return 0; 43 }
3.数学方法求最后一个人
1 #include <stdio.h> 2 #include <stdlib.h> 3 4 int main() 5 { 6 int n,m,f[1000],i; 7 scanf("%d%d",&n,&m); 8 f[1]=0; 9 for (i=2;i<=n;i++) 10 f[i]=(f[i-1]+m)%i; 11 printf("%d\n",f[n]+1); 12 return 0; 13 }
4.数学方法求第k个人
1 #include <stdio.h> 2 #include <stdlib.h> 3 4 int main() 5 { 6 //n个人，每m个人除去一个人，求k轮除去的人的编号 7 //f[n][k]可以分为（第一轮报数）+（n-1个人报k-1轮） 8 //f[n][k]为第一轮报数的编号的基础上加上n-1个人在第k-1轮除去的人的编号 9 //f[n][k]=(f[n-1][k-1]+m) % n 10 //f[n-k+1][1]=m-1 11 int n,m,k,i,x; 12 scanf("%d%d%d",&n,&m,&k); 13 x=(m-1)%(n-k+1); 14 //编号认为从0~n-1;因为若为1~n，%n有可能出现0的情况，不太好 15 for (i=n-k+2;i<=n;i++) 16 x=(x+m)%i; 17 printf("%d\n",x+1); 18 return 0; 19 }
附上他人的数学方法证明
无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。
为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1,
2, ... k-2
并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
k-1 --> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k)%n
如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：
令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]
递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1.
