高等数学-微分&不定积分

微分

我们目前仅研究一元微分（也称为常微分），后面所提到的微分如无特殊说明均指常微分

常微分微分与我们学过的 导数 有些类似

以下部分内容摘自Wikipedia

微分的定义

设函数 $y=f(x)$ 在某区间 $I$ 内有定义，$x$ 和 $x+\Delta x$ 均在此区间内。如果函数的增量可以表示为 $\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$（其中 $A$ 为不依赖于 $\Delta x$ 的常数），而 $o(\Delta x)$ 是比 $\Delta x$ 高阶的无穷小，那么称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 是可微的，且 $A\Delta x$ 称作函数在点 $x_0$ 相应于自变量增量 $\Delta x$ 的微分，记作 ${\rm d}y$，即 ${\rm d}y=A\Delta x$

通常把自变量 $x$ 的增量 $\Delta x$ 称为自变量的微分，记作 ${\rm d}x$，即 ${\rm d}x=\Delta x$

微分与导数

微分和导数是两个不同的概念。但是，对一元函数来说，可微与可导是完全等价的概念。可微的函数，其微分等于导数乘以自变量的微分 ${\rm d}x$，换言之，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数，即 $\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=f'(x)$。因此，导数也叫做微商。于是函数 $y=f(x)$ 的微分又可以记作 ${\rm d}y=f'(x){\rm d}x$ 或 ${\rm d}f=f'(x){\rm d}x$

微分的几何意义

(注：图片源自 Wikipedia)

由图感性理解，当 $|\Delta x|$ 很小时，$|\Delta y-{\rm d}y$ 比 $|\Delta x|$ 要小得多（即高阶无穷小），因此此时我们可以用切线段代替原函数的曲线段

原函数

原函数的定义

设函数 $f$ 与 $F$ 在区间 $I$ 上都有定义，若

$$F'(x)=f(x),x\in I$$

则称 $F$ 为 $f$ 在区间 $I$ 上的一个原函数

也就是说 $F$ 在 $I$ 上的导函数为 $f$，那么 $F$ 就是 $f$ 在 $I$ 上的原函数

关于原函数的定理

【定理1】 若函数 $f$ 在区间 $I$ 上连续，则 $f$ 在 $I$ 上存在原函数 $F$，即 $F'(x)=f(x),x\in I$

【定理2】 设 $F$ 为 $f$ 在区间 $I$ 上的一个原函数，则 $F+C$ 也是 $f$ 在 $I$ 上的原函数，其中 $C$ 为任意常量函数（注：这里 $C$ 既作为常量函数，又作为该常量函数的函数值，不会混淆时常说“ $C$ 是任意常数”）

【定理3】 $f$ 在 $I$ 上的任意两个原函数之间，可能只相差一个常数

不定积分

不定积分的定义

函数 $f$ 在区间 $I$ 上的全体原函数被称为 $f$ 在 $I$ 上的不定积分，记作

$$\int f(x){\rm d}x$$

其中称 $\int$ 为积分号，$f(x)$ 为被积函数，$f(x){\rm d}x$ 为被积表达式（也就是 $f$ 的原函数 $F$ 的微分），$x$ 为积分变量

由此可见，若 $F$ 是 $f$ 的一个原函数，则 $f$ 的不定积分是一个函数族 $\{F+C\}$，其中 $C$ 是任意常数，可以记为

$$\int f(x){\rm d}x=F(x)+C$$

这时又称 $C$ 为积分常数，它可取任一实数值，于是又有

$$[\int f(x){\rm d}x]'=[F(x)+C]'=f(x)\\ {\rm d}(\int f(x){\rm d}x)={\rm d}[F(x)+C]=f(x){\rm d}x$$

不定积分的几何意义

若 $F$ 是 $f$ 的一个原函数，将 $F$ 所代表的曲线在坐标系中沿着纵轴方向平移（也就是 $+C$ ）所得到的所有曲线组成的曲线集就是 $f$ 的不定积分

感性理解一下，积分是微分的逆运算，不定积分曲线集中的每一条曲线求导后 $+C$ 会被去掉，得到的 $f$ 就都是一样的

基本积分表

求原函数并没有通解，我们只能通过一些基本的积分公式去推测试探

$$\begin{align*} &1.\int0{\rm d}x=C\\ &2.\int1{\rm d}x=\int{\rm d}x=x+C\\ &3.\int x^a{\rm d}x=\dfrac{x^{a+1}}{a+1}+C(a\ne-1,x>0)\\ &4.\int\dfrac1x{\rm d}x=\ln |x|+C(x\ne0)\\ &5.\int e^x{\rm d}x=e^x+C\\ &6.\int a^x{\rm d}x=\dfrac{a^x}{\ln a}+C(a>0,a\ne1)\\ &7.\int\cos ax{\rm d}x=\dfrac1a\sin ax+C(a\ne0)\\ &8.\int\sin ax{\rm d}x=-\dfrac1a\cos ax+C(a\ne0)\\ &9.\int\sec^2x{\rm d}x=\tan x+C\\ &10.\int\csc^2x{\rm d}x=-\cot x+C\\ &11.\int\sec x\cdot\tan x{\rm d}x=\sec x+C\\ &12.\int\csc x\cdot\cot x{\rm d}x=-\csc x+C\\ &13.\int\dfrac{{\rm d}x}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C=-\arccos x+C_1\\ &14.\int\dfrac{{\rm d}x}{1+x^2}=\arctan x+C=-{\rm arccot} x+C_1. \end{align*}$$

这些基本积分公式非常重要，必须记牢，一定要能熟练运用这些公式

不定积分的线性运算法则

若函数 $f$ 与 $g$ 在区间 $I$ 上均存在原函数，$k_1,k_2$ 为两个任意常数，则 $k_1f+k_2g$ 在 $I$ 上也存在原函数，且

$$\int[k_1f(x)+k_2g(x)]{\rm d}x=k_1\int f(x){\rm d}x+k_2\int g(x){\rm d}x$$

证明：

$$\begin{align*} [k_1\int f(x){\rm d}x+k_2\int g(x){\rm d}x]'&=k_1(\int f(x){\rm d}x)'+k_2(\int g(x){\rm d}x)'\\ &=k_1f(x)+k_2g(x) \end{align*}$$

同理容易得出一般形式：

$$\int(\sum_{i=1}^nk_if_i(x)){\rm d}x=\sum_{i=1}^n(k_i\int f_i(x){\rm d}x)$$

练习

运用基本积分表和不定积分线性运算法则可以求解一些简单函数的不定积分，还有其他求解的方法，之后会讲解

1.计算 $\int(x^3-x-\frac1{\sqrt[3]{x^2}}+1){\rm d}x$

解：根据线性运算法则，原式等于

$$\int x^3{\rm d}x-\int x{\rm d}x-\int x^{-\frac23}{\rm d}x+\int 1{\rm d}x$$

再套基本积分公式即可，原式等于

$$\frac{x^4}4-\frac{x^2}2-3x^{\frac13}+x+C$$

2.计算 $\int({\rm e}^x-{\rm e}^{-x})^3{\rm d}x$

解：先利用完全立方差公式展开式子，再用线性运算法则拆分，最后套基本积分公式即可

$$\begin{align*} \int({\rm e}^x-{\rm e}^{-x})^3{\rm d}x&=\int({\rm e}^{3x}-{\rm e}^x+{\rm e}^{-x}-{\rm e}^{-3x}){\rm d}x\\ &=\int{\rm e}^{3x}{\rm d}x-\int{\rm e}^x{\rm d}x+\int{\rm e}^{-x}{\rm d}x-\int{\rm e}^{-3x}{\rm d}x\\ &={\rm e}^{3x}-{\rm e}^x+{\rm e}^{-x}-{\rm e}^{-3x}+C \end{align*}$$

3.计算 $\int\sin^2x{\rm d}x$

这道题如果只用线性运算法则和基本积分公式很难想到解法，解法也很凑巧，使用后面的方法可以更便捷地计算，不感兴趣可以先跳过此题

解：首先根据和角公式可以得出

$$\begin{align*} 1-\cos2x&=1-(\cos^2x-\sin^2x)\\ &=\cos^2x+\sin^2x-\cos^2x+\sin^2x\\ &=2\sin^2x \end{align*}$$

那么我们可以把原式变换

$$\int\sin^2x{\rm d}x=\frac12\int2\sin^2x{\rm d}x$$

根据上面推出的式子可以得到

$$\frac12\int2\sin^2x{\rm d}x=\frac12\int(1-\cos2x){\rm d}x$$

再用线性运算法则拆分，最后套基本积分公式即可

$$\begin{align*} \frac12\int(1-\cos2x){\rm d}x&=\frac12\int1{\rm d}x-\frac12\int\cos2x{\rm d}x\\ &=\frac x2-\frac{\sin2x}2+C \end{align*}$$

(注：图片源自鲱鱼罐头APP)

注意：积分时切记不要漏掉常数 $C$

换元积分法

换元法的证明和详细解释都很冗长，这里我只是简短的介绍一下，利用例题相信可以更好地帮助理解

第一类换元公式

第一类换元公式就是把被积表达式进行变化，构造成 $g(\varphi(x))\varphi'(x){\rm d}x$ 的形式，然后根据微分 ${\rm d}f=f'{\rm d}x$ 把原式变形为 $g(\varphi(x)){\rm d}\varphi$，然后换元，令 $u=\varphi(x)$，将原式化为了更容易积分的 $\int g(u){\rm d}u$，下面结合题目感受一下

1.求 $\int\tan x{\rm d}x$

解：

$$\int\tan x{\rm d}x=\int\frac{\sin x}{\cos x}{\rm d}x=\int\frac{-(\cos x)'}{\cos x}{\rm d}x=-\int\frac{(\cos x)'}{\cos x}{\rm d}x$$

令 $u=\cos x$，根据微分的定义 $(\cos x)'{\rm d}x={\rm d}(\cos x)={\rm d}u$，则有

$$-\int\frac{(\cos x)'}{\cos x}{\rm d}x=-\int\frac{{\rm d}u}{u}=-\int\frac1{u}{\rm d}u$$

再套基本积分公式

$$-\int\frac1{u}{\rm d}u=-\ln|u|+C=-\ln|\cos x|+C$$

2.求 $\int\frac{{\rm d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}(a>0)$

解：先把被积表达式上下同时除以 $a$

$$\int\frac{{\rm d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}=\int\frac{{\rm d}\left(\frac xa\right)}{\sqrt{1-\left(\frac xa\right)^2}}$$

然后换元，令 $u=\frac xa$

$$\int\frac{{\rm d}\left(\frac xa\right)}{\sqrt{1-\left(\frac xa\right)^2}}=\int\frac{{\rm d}u}{\sqrt{1-u^2}}$$

套基本积分公式，别忘了把换元的部分还原

$$\int\frac{{\rm d}u}{\sqrt{1-u^2}}=\arcsin u+C=\arcsin \frac xa+C$$

3.求 $\int\frac{{\rm d}x}{x\cdot\ln x\cdot\ln\ln x}$

解：先把原式拆开，然后不断换元

$$\begin{align*} \int\frac{{\rm d}x}{x\cdot\ln x\cdot\ln\ln x} &=\int\frac1{\ln\ln x}\frac1{\ln x}\frac1x{\rm d}x\\ &=\int\frac1{\ln\ln x}\frac1{\ln x}(\ln x)'{\rm d}x\\ &=\int\frac1{\ln\ln x}\frac1{\ln x}{\rm d}(\ln x)\\ &=\int\frac1{\ln\ln x}(\ln\ln x)'{\rm d}(\ln x)\\ &=\int\frac1{\ln\ln x}{\rm d}(\ln\ln x)\\ &=\ln\ln\ln x+C \end{align*}$$

第二类换元公式

第一类换元公式是根据微分 ${\rm d}f=f'{\rm d}x$ 把原式变形，而第二类换元公式则是反过来，利用 ${\rm d}x=\frac{{\rm d}f}{f'}$ 把原式变形，同样我们根据例题来理解

1.求 $\int x{\rm e}^{2x^2}{\rm d}x$

解：注意到被积表达式中的 $2x^2$ 不好处理，考虑把 ${\rm d}x$ 变形为 $\frac{{\rm d}(2x^2)}{(2x^2)'}=\frac{{\rm d}(2x^2)}{4x}$ 进行化简

$$\begin{align*} \int x{\rm e}^{2x^2}{\rm d}x &=\int x{\rm e}^{2x^2}\frac{{\rm d}(2x^2)}{4x}\\ &=\frac14\int{\rm e}^{2x^2}{\rm d}(2x^2)\\ &=\frac14{\rm e}^{2x^2}+C \end{align*}$$

2.求 $\int(x+1)^n{\rm d}x$

$(x+1)^n$ 二项式展开好麻烦，感觉好恶心，怎么办呢？考虑换元

解：

$$\begin{align*} \int(x+1)^n{\rm d}x &=\int(x+1)^n{\rm d}(x+1)\\ &=\frac{(x+1)^{n+1}}{n+1}+C \end{align*}$$

3.求 $\int\frac{{\rm d}x}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}$

取次数的最小公倍数换元，令 $x=u^6$ ，就可以被积表达式换成更简单的形式

解：

$$\int\frac{{\rm d}x}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}} =\int\frac{6u^5}{u^3+u^2}{\rm d}u$$

利用大除法因式分解 $u^5=(u^3+u^2)(u^2-u+1)-u^2$

$$\begin{align*} \int\frac{6u^5}{u^3+u^2}{\rm d}u &=6\int(u^2-u+1-\frac1{u+1}){\rm d}u\\ &=6\left(\frac{u^3}3-\frac{u^2}2+u-\ln|u+1|\right)+C\\ &=2x^{\frac12}-3x^{\frac13}+6x^{\frac16}-6\ln|x^{\frac16}+1|+C \end{align*}$$

分部积分法

分部积分法由乘积求导法推导而来，推导过程省略

若 $u(x),v(x)$ 可导，不定积分 $\int u'(x)v(x){\rm d}x$ 存在，则 $\int u(x)v'(x){\rm d}x$ 也存在，并有

$$\int u(x)v'(x){\rm d}x=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x){\rm d}x$$

可简写为

$$\int u{\rm d}v=uv-\int v{\rm d}u$$

下面给出几道例题

1.计算 $\int x\cos x{\rm d}x$

解：套用分部积分法

$$\begin{align*} \int x\cos x{\rm d}x &=\int x{\rm d}(\sin x)\\ &=x\sin x-\int\sin x{\rm d}x\\ &=x\sin x+\cos x+C \end{align*}$$

2.计算 $\int x^2{\rm e}^{-x}{\rm d}x$

解：对原式先变形，然后使用一次分部积分法

$$\begin{align*} \int x^2{\rm e}^{-x}{\rm d}x &=\int x^2{\rm e}^{-x}(-1){\rm d}(-x)\\ &=\int x^2{\rm d}(-{\rm e}^{-x})\\ &=-x^2{\rm e}^{-x}+2\int x{\rm d}(-{\rm e}^{-x}) \end{align*}$$

注意到还是不好整，再使用一次分部积分法

$$\begin{align*} -x^2{\rm e}^{-x}+2\int x{\rm d}(-{\rm e}^{-x}) &=-x^2{\rm e}^{-x}-2x{\rm e}^{-x}+2\int{\rm e}^{-x}{\rm d}x\\ &={\rm e}^{-x}(-x^2-2x+2)+C \end{align*}$$

3.计算 $\int\frac{\ln x}{x^3}{\rm d}x$

解：先进行转换，再使用分部积分法

$$\begin{align*} \int\frac{\ln x}{x^3}{\rm d}x &=\int\frac{(x^{-2})'}{-2}\ln x{\rm d}x\\ &=-\frac12\int\ln x{\rm d}(x^{-2})\\ &=-\frac12(x^{-2}\ln x-\int x^{-3}{\rm d}x)\\ &=-\frac12(x^{-2}\ln x-\frac{x^{-2}}{-2})+C\\ &=-\frac{x^{-2}\ln x}2-\frac{x^{-2}}4+C \end{align*}$$

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写了两天终于写完了微分和不定积分，还有定积分要写，累死了

该文为本人原创，转载请注明出处

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