特征根法
特征根法
二阶线性递推
问题
给定一个数列 \(\{a_n\}\)，已知 \(a_i=A,a_j=B\) 且 \(a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_{n}\)，求 \(\{a_n\}\) 通项
解法
首先解特征根方程
\[x^2=px+q
\]
若解出两个不同的根
假设特征根分别为 \(x_1,x_2\)
\(x^{n+2}_1=px_1^{n+1}+qx_1^n,\ x^{n+2}_1=px_1^{n+1}+qx_1^n\)
那么显然数列 \(b_n=x_1^n\) 与 \(c_n=x_2^n\) 满足 \(b_{n+2}=pb_{n+1}+qb_{n}\) 与 \(c_{n+2}=pc_{n+1}+qc_{n}\)
则 \(a_n\) 一定可以表示为 \(C_1x_1^n+C_2x_2^n\)
根据 \(a_i=A,a_j=B\) 列出方程
\[\left\{
\begin{matrix}
&A=C_1x_1^{i}+C_2x_2^{i}\\
&B=C_1x_1^{j}+C_2x_2^{j}
\end{matrix}
\right.
\]
解出 \(C_1,C_2\)
得到通项 \(a_n=C_1x_1^n+C_2x_2^n\)
若解出两个相同的根
假设特征根为 \(x\)
\(a_n=(C_1+C_2n)x^n\)
