矩阵
矩阵
矩阵定义
矩阵（Matrix）通俗地讲可以看做一个二维数组，每个位置上都是一个数字，更准确地说它是一个按照矩形阵列排列的实数或复数集合。
下面来看看矩阵的运算，其中矩阵加减法和数乘矩阵被称为矩阵的线性运算
矩阵加减法
定义
矩阵加减法仅在矩阵形态相同时被定义，也就是两个矩阵行数列数均相同时才有加减法。矩阵的加法和减法就是把它们对应位置上的数字相加减，假设有两个矩阵 \(A,B\)，均有 \(n\) 行 \(m\) 列，那么 \(A \pm B\) 得到的新矩阵 \(C\) 也是 \(n*m\) 的矩阵，其中 \(\forall i\in[1,n],\forall j\in[1,m],\ C_{i,j}=A_{i,j}\pm B_{i,j}\)，更形象的写法如下：
运算律
矩阵加减法满足如下运算律（注意 \(A,B,C\) 都必须是同型矩阵）：
交换律：\(A+B=B+A\)
结合律：\(A+(B+C)=(A+B)+C\)
数乘矩阵
定义
一个数字乘一个矩阵就是把矩阵中的每一个数都乘上这个数字。假设 \(B=\lambda A\)，那么有 \(\forall i\in[1,n],\forall j\in[1,m],\ B_{i,j}=\lambda A_{i,j}\)，即：
运算律
数乘矩阵满足如下运算律：
交换律：\(\lambda(\mu A)=\mu(\lambda A)=(\lambda\mu)A\)
分配律：\((\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A\qquad\lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B\)
矩阵转置
定义
假设有一个 \(n\) 行 \(m\) 列的矩阵 \(A\)，那么我们把 \(A\) 中的每一行都换成序号相同的列，把每一列都换成序号相同的行，得到的新矩阵就称作原矩阵 \(A\) 的转置矩阵记为 \(A^T\) 或 \(A'\)，此处 \(A\) 的转置矩阵就是 \(m\) 行 \(n\) 列的
也就是说 \(\forall i\in[1,n],\forall j\in[1,m],\ A^T_{j,i}=A_{i,j}\)
运算律
矩阵转置满足如下运算律：
\((A^T)^T=A\)
\((A^T+B^T)=A^T+B^T\)
\((\lambda A)^T=\lambda(A^T)\)
\((AB)^T=B^TA^T\)
矩阵乘法
定义
仅当一个矩阵的列数与另一个矩阵的行数相同时矩阵乘法才被定义，假设矩阵 \(A\) 为 \(n*m\) 的矩阵，矩阵 \(B\) 为 \(m*p\) 的矩阵，那么 \(A*B\) 所得到的矩阵 \(C\) 就是一个 \(n*p\) 的矩阵，其中：
也就是说参与矩阵乘法运算的两个矩阵中，第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，算出的新矩阵的行数为第一个矩阵的行数，新矩阵的列数为第二个矩阵的列数，新矩阵中第 \(i\) 行第 \(j\) 列的元素就等于第一个矩阵的第 \(i\) 行的所有元素与第二个矩阵的第 \(j\) 行的所有元素分别相乘，然后把乘积相加得到的结果
下面来举个例子帮助直观理解，例如我们令 \(AB=C\)，那么我们可以展开写成：
那么 \(c_{1,2}\) 和 \(c_{2,1}\) 分别是由哪些数字相乘得到的呢？
从图上就能直观地看出 \(c_{1,2}=a_{1,1}*b_{1,2}+a_{1,2}*b_{2,2}+a_{1,3}*b_{3,2}+a_{1,4}*b_{4,2}\) ，也就是 \(A\) 的第一行和 \(B\) 的第二列相乘相加
运算律
矩阵乘法满足如下运算律：
乘法结合律：\((AB)C=A(BC)\)
乘法（左、右）分配律：\((A+B)C=AC+BC\) 以及 \(C(A+B)=CA+CB\)
数乘结合性：\((\lambda A)B=\lambda(AB)=A(\lambda B)\)
c++ code
int a[MAXN][MAXN],b[MAXN][MAXN],n,m,p;
//这里省略读入，假设输入的a，b分别为n行m列和m行p列的矩阵，从下标0开始存放
int c[n][p];//矩阵乘法结果为一个n行p列的矩阵
memset(c,0,sizeof(c));//初始化数组
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<p;j++)
for(int k=0;k<m;k++)//枚举
c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];//乘上并加入c中
//最后c中存放的矩阵即为矩阵乘法的结果
拓展与应用
单位矩阵
单位矩阵在矩阵乘法中有重要作用，它相当于普通数字乘法中的 \(1\)，任何矩阵左乘或者右乘单位矩阵都等于这个矩阵自身
单位矩阵是一个方阵（全称方块矩阵，指行数列数相等的矩阵），它的左上角到右下角对角线上的所有元素都为 \(1\)，其他元素都是 \(0\)，记作 \(I_n\) 或 \(E_n\)，常用 \(I\) 或 \(E\) 表示
满足性质：
矩阵快速幂
对于一个方阵来说，显然它反复乘以自己得到的仍旧是相同大小的方阵，如果我们需要反复乘同一个方阵，单纯 \(\Theta(n)\) 求就会导致效率极其低下，在以前相信大家都学过快速幂，由于矩阵乘法的运算律，我们仍然可以使用快速幂计算一个方阵的幂，思路与普通的快速幂极为类似，所以就不多解释了，不了解快速幂可以自行查阅相关资料，
注意这里 \(ans\) 矩阵一开始应该初始化为单位矩阵
下面直接上代码：
const int mod=1e9+7;
int n,p;
cin>>n>>p;
long long a[n][n],ans[n][n],tmp[n][n];
for(int i=0;i<n;i++)//初始化
{
for(int j=0;j<n;j++)
cin>>a[i][j],ans[i][j]=tmp[i][j]=0;
ans[i][i]=1;
}
while(p)//快速幂
{
if(p&1)
{
for(int i=0;i<n;i++)//tmp=ans*a
for(int j=0;j<n;j++)
for(int k=0;k<n;k++)
tmp[i][j]=(tmp[i][j]+ans[i][k]*a[k][j]%mod)%mod;
for(int i=0;i<n;i++)//ans=tmp
for(int j=0;j<n;j++)
ans[i][j]=tmp[i][j],tmp[i][j]=0;
}
for(int i=0;i<n;i++)//tmp=a*a
for(int j=0;j<n;j++)
for(int k=0;k<n;k++)
tmp[i][j]=(tmp[i][j]+a[i][k]*a[k][j]%mod)%mod;
for(int i=0;i<n;i++)//a=tmp
for(int j=0;j<n;j++)
a[i][j]=tmp[i][j],tmp[i][j]=0;
p>>=1;
}
for(int i=0;i<n;i++)//输出
{
for(int j=0;j<n;j++)
cout<<ans[i][j]<<' ';
putchar('\n');
}
这样码风有点丑，只是为了展示方便，没有写成结构体+函数的形式，自己做题时建议都写成结构体形式，更方便调试
加速递推
题意简述：给定 \(n\)，请你给出斐波那契数列第 \(n\) 项对 \(10^9+7\) 取模的结果，其中 \(1\le n<2^{63}\)
如果暴力解决这道题那么就是 \(\Theta(n)\) 递推，但由于 \(n\) 过大，显然会超时，利用矩阵就可以优化
我们设一个 \(1*2\) 的矩阵 \(A_i=\left(\begin{matrix}F_i & F_{i-1}\end{matrix}\right)\)，其中 \(F_i\) 表示斐波那契数列的第 \(i\) 项，那么根据斐波那契数列的定义有 \(A_{i+1}=\left(\begin{matrix}F_i+F_{i-1} & F_{i}\end{matrix}\right)\)，我们发现可以找到一个矩阵 \(B=\left(\begin{matrix}1 & 1\\1 & 0\end{matrix}\right)\) 使得 \(A_i B=A_{i+1}\) 即：
简单手动计算一下就可以知道这个式子的正确性
所以斐波那契数列的 \(A_n(n\ge3)\) 就可以表示为 \(A_1 B^{n-2}\)，根据矩阵乘法的运算律，我们利用矩阵快速幂把 \(B^{n-2}\) 算出来再用 \(A_1\) 乘，就能在 \(\Theta(\log n)\) （常数有点大，主要是矩阵乘法的 \(\Theta(2^3)\)）的时间复杂度内解决这个问题
上面这种方法就是利用矩阵乘法加速递推，类似的线性递推题目可以尝试使用矩阵乘法进行优化，上面题目中矩阵 \(A\) 就称作状态矩阵，矩阵 \(B\) 就称作转移矩阵，正确地定义状态矩阵并计算出转移矩阵就可以成功优化
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