中国剩余定理

中国剩余定理

前置知识

逆元（扩展欧几里得算法，费马小定理），模意义下的四则运算

介绍

中国剩余定理主要用于解决这样的线性同余方程组，其中 $b_1,b_2,\cdots,b_n$ 两两互质

$$\left\{ \begin{aligned} x&\equiv a_1\pmod {b_1}\\ x&\equiv a_2\pmod {b_2}\\ &\ \ \vdots\\ x&\equiv a_n\pmod {b_n}\\ \end{aligned} \right.$$

对于这样的方程组我们只需要求出 $x$ 的一组特解，把这个特解加上 $b_1,b_2,\cdots,b_n$ 的最小公倍数的任意整数倍就可以得到所有解，所以我们就只需要考虑怎么构造出一组特解

例子

下面举个例子来帮助理解

$$\left\{ \begin{aligned} x&\equiv 2\pmod 3\\ x&\equiv 4\pmod 7\\ x&\equiv 5\pmod 8\\ \end{aligned} \right.$$

直接构造不太行，但是对于每一个线性同余方程构造出一个特解是非常轻松的，所以我们先设第 $i$ 个式子的解是 $y_i$，那么有

$$\left\{ \begin{aligned} y_1&\equiv 2\pmod 3\\ y_2&\equiv 4\pmod 7\\ y_n&\equiv 5\pmod 8\\ \end{aligned} \right.$$

最终的 $x$ 一定是 $y_i$ 以各种方式组合起来，那么问题就是怎么组合才能得到 $x$，如果 $y_i$ 之间相乘就把问题变得更复杂了，所以我们把它们加起来，想办法凑出 $x$

如果 $x=y_1+y_2+y_3$，那么每一个 $y$ 需要满足什么条件呢？

因为 $y_1+y_2+y_3\equiv y_1\equiv 2\pmod 3$，所以 $y_2+y_3$ 一定是 $3$ 的倍数，当 $y_2,y_3$ 分别都是 $3$ 的倍数时这一定也是满足条件的一个特解

所以我们不妨假设 $y_2,y_3$ 都是 $3$ 的倍数

同理 $y_1,y_3$ 都是 $7$ 的倍数，$y_1,y_2$ 都是 $8$ 的倍数

那我们就可以把 $y_1$ 写成 $56z_1$，把 $y_2$ 写成 $24z_2$，把 $y_3$ 写成 $21z_3$

原方程就变成了这样

$$\left\{ \begin{aligned} 56z_1&\equiv 2\pmod 3\\ 24z_2&\equiv 4\pmod 7\\ 21z_3&\equiv 5\pmod 8\\ \end{aligned} \right.$$

然后就非常好求了，只需要求出

$$\left\{ \begin{aligned} 56w_1&\equiv 1\pmod 3\\ 24w_2&\equiv 1\pmod 7\\ 21w_3&\equiv 1\pmod 8\\ \end{aligned} \right.$$

也就是 $21,24,56$ 分别对于 $3,7,8$ 的乘法逆元，然后在等式两边同时分别乘以 $2,4,5$ 就可以得到 $z_1,z_2,z_3$ 的一组特解

用扩展欧几里得算法求出 $w_1=2,w_2=5,w_3=5$，所以 $z_1=2w_1=4,z_2=4w_2=20,z_3=5w_3=25$

于是 $y_1=56z_1=224,y_2=24z_2=480,y_3=21z_3=525$

最后就得到 $x=y_1+y_2+y_3=1229$，由于 $3,7,8$ 的最小公倍数是 $168$，我们将 $1229$ 对于 $168$ 取模就能得到 $x$ 的最小正整数解 $53$

$x$ 的通解就能表示为 $53+168k,k\in\mathbb{Z}$

数学语言

上面的例子比较好理解，下面用更严谨的数学语言再来描述一遍，没兴趣可以直接跳过

直接构造不太行，但是对于每一个线性同余方程构造出一个特解是非常轻松的，所以我们先设第 $i$ 个式子的解是 $y_i$，那么有

$$\left\{ \begin{aligned} y_1&\equiv a_1\pmod {b_1}\\ y_2&\equiv a_2\pmod {b_2}\\ &\ \ \vdots\\ y_n&\equiv a_n\pmod {b_n}\\ \end{aligned} \right.$$

最终的 $x$ 一定是 $y_i$ 以各种方式组合起来，如果 $y_i$ 之间相乘就把问题变得更复杂了，所以我们把它们加起来以凑出 $x$

如果 $x=\sum_{i=1}^ny_i$，那么考虑每一个 $y$ 需要满足的条件

由于 $y_t\equiv a_t\pmod {b_t}$ 且 $x=\sum_{i=1}^ny_i\equiv a_t\pmod {b_t}$，所以 $y_t\equiv\sum_{i=1}^ny_i\pmod {b_t}$

因为只要构造一组特解所以我们不妨假设 $\sum_{i=1}^ny_i[i\ne t]\equiv 0\pmod {b_t}$，也就是 $b|\sum_{i=1}^ny_i[i\ne t]$

用人话说就是 $y_t$ 在加上所有其他 $y$ 之后对于 $b_t$ 取模的结果仍然不变，所以其他所有 $y$ 的和一定是 $b_t$ 的倍数，因为只要构造一组特解所以我们不妨假设其他每一个 $y$ 都是 $b_t$ 的倍数

不妨令 $p_t=\prod_{i=1}^nb_i[i\ne t]$ 设 $y_t=p_tz_t$

原方程组就转换为了

$$\left\{ \begin{aligned} p_1z_1&\equiv a_1\pmod {b_1}\\ p_2z_2&\equiv a_2\pmod {b_2}\\ &\ \ \vdots\\ p_nz_n&\equiv a_n\pmod {b_n}\\ \end{aligned} \right.$$

假设 $p_t$ 在模 $b_t$ 意义下的乘法逆元为 $w_t$，那么根据乘法逆元的定义 $p_tw_t\equiv1\pmod {b_t}$，两边同时乘以 $a_t$ 就有 $p_ta_tw_t\equiv a_t\pmod {b_t}$，所以 $a_tw_t$ 一定是 $z_t$ 的一个特解

那么对于 $p_tz_t\equiv a_t\pmod {b_t}$，$z_t$ 一定有一个特解为 $p_t$ 在模 $b_t$ 意义下的乘法逆元的 $a_t$ 倍

$p$ 可以直接算出来，然后利用扩展欧几里得算法（$b$ 为质数时也可以使用费马小定理）求出 $w$，乘上 $a$ 就能得到 $z$，再将 $z$ 乘上 $p$ 就能得到 $y$，全部加起来就可以算出 $x$ 的一个特解了，只需要模 $b_1,b_2,\cdots,b_n$ 的最小公倍数就可以得到最小正解

C++ Code

模板题目传送门 Luogu P1495

#include<bits/stdc++.h>
#define in read()
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int read()
{
    char c=getchar();
    int x=0;
    while(c<48)c=getchar();
    while(c>47)x=(x*10)+(c^48),c=getchar();
    return x;
}
inline void mwrite(ll a)
{
    if(a>9)mwrite(a/10);
    putchar((a%10)|48);
}
inline void write(ll a,char c)
{
	mwrite(a);
	putchar(c);
}
//上面是IO优化 
const int MAXN=15;
int n,c[MAXN],d[MAXN];
inline void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)//扩展欧几里得 
{
    if(!b) return x=1,y=0,void(0);
    exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=(a/b)*x;
}
inline ll inv(ll x,ll p)//求逆元 
{
	ll X,Y;
	exgcd(x,p,X,Y);
	return (X%p+p)%p;
}
inline ll crt()//CRT
{
	ll prod=1,ans=0;
	for(int i=1;i<=n;++i) prod*=d[i];
	ll tmp;
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		tmp=prod/d[i];
		ans+=(inv(tmp,d[i])*c[i]*tmp)%prod;
	}
	return ans%prod;
} 
signed main()
{
	n=in;
	for(int i=1;i<=n;++i) d[i]=in,c[i]=in;
	write(crt(),'\n');
    return 0;
}

---

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