二叉树（Binary Tree）

二叉树

树的基本概念

• 节点、根节点、父节点、子节点、兄弟节点
• 空树：没有任何节点的树
• 一棵树可以只有 1 个节点，也就是只有根节点
• 子树、左子树、右子树

节点的度（degree）：子树的个数

树的度：所有节点度中的最大值

叶子节点（leaf）：度为 0 的节点

层数（level）：根节点在第 1 层，根节点的子节点在第 2 层，以此类推

节点的深度（depth）：从根节点到当前节点的唯一路径上的节点总数

节点的高度（height）：从当前节点到最远叶子节点的路径上的节点总数

树的深度：所有节点深度中的最大值

树的高度：所有节点高度中的最大值

树的深度 等于 树的高度

有序树、无序树、森林

有序树

树中任意节点的子节点之间有顺序关系

无序树

• 树中任意节点的子节点之间没有顺序关系
• 也称为“自由树”

森林

由 m(m >= 0) 棵互不相交的树组成的集合

二叉树

特点

1. 每个节点的度最大为 2（最多拥有 2 棵子树)
2. 左子树和右子树是有顺序的，即使某节点只有一棵子树，也要区分左右子树（有顺序但没有大小的限制）

性质

1. 非空二叉树的第 i 层，最多有 2^(i-1) 个节点（i >= 1）
2. 在高度为 h 的二又树上最多有 2^h - 1 个结点（h >= 1）
3. 对于任何一棵非空二叉树，如果叶子节点个数为 n0，度为 2 的节点个数为 n2，则有：n = n2 + 1
   • 假设度为 1 的节点个数为 n1，那么二叉树的节点总数 n = n0 + n1 + n2
   • 二叉树的边数 T = n1 + 2 * n2 = n - 1 = n0 + n1 + n2 - 1（除了根节点，每个节点都有一条边）

真二叉树

真二叉树：

• 所有节点的度都要么为 0，要么为 2。（0,2）

满二叉树

满二叉树：

• 所有节点的度都要么为 0，要么为 2，（0, 2）
• 且所有的叶子节点都在【最后一层】。

性质：

1. 在同样高度的二叉树中，满二叉树的叶子节点数量最多、总节点数量最多
2. 满二叉树一定是真二叉树，真二叉树不一定是满二叉树
3. 假设满二叉树的高度为 h(h >= 1)，那么
   • 第 i 层的节点数量: 2^(i-1)
   • 叶子节点数量: 2^(h-1)
   • 总节点数量 n
     • n = 2^h - 1 = 2^0 + 2^1 + 2^2 + … + 2^(h-1)
     • h = log2(n+1)

完全二叉树

概念

完全二叉树：

• 叶子节点只会出现最后 2 层，（0, 1, 2）

• 且最后 1 层的叶子结点都靠左对齐。

• 完全二叉树从根节点至倒数第 2 层是一颗满二叉树

• 【满二叉树】一定是【完全二叉树】，【完全二叉树】不一定是【满二叉树】

性质

1. 度为 1 的节点只有左子树
2. 度为 1 的节点要么是 1 个，要么是 0 个
3. 同样节点数量的二叉树，完全二叉树的高度最小
4. 假设完全二叉树的高度为 h(h>=1)，那么
   • 至少有 2^(h-1) 个节点 (2^0 + 2^1 + 2^2 + … + 2^(h-2) + 1）
   • 最多有 2^h - 1 个节点（2^0 + 2^1 + 2^2 + … + 2^(h-1)，满二又树)
   • 总节点数量为 n

高度 h 与 总节点数量 n 的运算：

• 2^(h-1) <= n < 2^h
• h-1 < log2(n) < h
• h = floor(log2(n)) + 1

1. floor（向下取整）：只取前面的整数。比如 floor(4.6) 为4
2. ceiling（向上取整）：如果小数不为 0，取前面的整数加 1，否则只取前面的整数。比如 ceiling(4.6) 为 5，ceiling(4.0) 为 4
3. 平常运算默认向下取整（5/2 = 2）

编号问题：

面试题

题目：如果一颗完全二叉树有 768 个节点，求叶子节点的个数。

假设叶子节点个数为 n0，度为 1 的节点个数为 n1，度为 2 的节点个数为 n2

=> 总结点个数 n = n0 + n1 + n2，而且 n0 = n2 + 1

所以可推导：n = 2n0 + n1 - 1

利用性质：完全二叉树的 n1 要么为 0，要么为 1

可推出：

1. n1 为 1 时，n = 2n0，n 必然是偶数
   • 叶子节点个数 n0 = n/2，非叶子节点个数 n1 + n2 = n/2
2. n1 为 0 时，n = 2n0 - 1，n 必然是奇数
   • 叶子节点个数 n0 = (n+1)/2 = n/2 + 1/2，非叶子节点个数 n1 + n2 = (n-1)/2

总结

利用向上或向下取整（省略了小数的影响）可得出通用公式，这样就无需判断了

• 叶子节点个数 n0 = (n+1)/2 = floor( (n+1)/2 ) = ceiling( n/2 )

• 非叶子节点个数 n1 + n2 = n/2 = floor( n/2 ) = ceiling( (n-1)/2 )

• 因此叶子节点个数为 384
  就无需判断了

• 叶子节点个数 n0 = (n+1)/2 = floor( (n+1)/2 ) = ceiling( n/2 )

• 非叶子节点个数 n1 + n2 = n/2 = floor( n/2 ) = ceiling( (n-1)/2 )

• 因此叶子节点个数为 384