「CodePlus 2018 4 月赛」Tommy 的结合（斜率优化）

题意：

思路：

n<=66 \(dp[i][j]\)表示匹配到i,j的时候最大值，转移枚举下一个点，总复杂度\(O(n^4)\)

为了降低复杂度

\(dp[l][r]=max(dp[i][j]+c[l][r]-dis[i][l]^2-dis[j][r]^2)\)

如果想只枚举\(r\) ，可以把\(dp[i][j]-dis[i][l]^2\)给处理出来，就多开一个数组

\(dp[l][r]\)表示恰好到 \(G[l'][r]\)表示往后多走了一个\(l\)

\(dp[i][j]=max(G[i][k]-(dis[j-1]-dis[k])^2)+C[i][j]\)

\(G[i][j]=max(dp[l][j]-(dis[i-1]-dis[l])^2)\)

这样复杂度就是\(O(n^3)\)

看这样的式子可以想到斜率优化（链上的时候）

\(dp[i][j]=max(G[i][k]-dis[k]^2+2*dis[j-1]*dis[k])+c[i][j]-dis[j-1]^2\)

dis是单调递增的

\(G[l]-dis_l^2+2*dis_{j-1}*dis_l>=G[r]-dis_r^2+2*dis_{j-1}*dis_r\)

\(dis_{j-1}>=\frac{G_r-G_l+dis_l^2-dis_r^2}{dis_l-dis_r}\)

维护斜率递增的凸包，G同理

上面可以解决链上的情况

然后就是树上的斜率优化，每次从父亲节点继承\(l,r\)，可以二分这时候加入的右端点，记录原来栈里的值用于还原。

这样子总的复杂度就是\(O(n^2logn)\)

#include<bits/stdc++.h>
#define M 2705
#define ll long long
using namespace std;
void Rd(int &res) {
	res=0;
	char c;
	int fl=1;
	while(c=getchar(),c<48)if(c=='-')fl=-1;
	do res=(res<<1)+(res<<3)+(c^48);
	while(c=getchar(),c>=48);
	res*=fl;
}
struct Node {
	int tot,n,to[M],pr[M],la[M],fa[M],dep[M],a[M],L[M],R[M],Id[M],id,dis[M];
	void add(int x,int y) {
		to[++tot]=y,pr[tot]=la[x],la[x]=tot;
	}
	void dfs(int x,int f) {
		dep[x]=dep[f]+a[x],L[x]=++id,Id[id]=x,dis[x]=dis[f]+a[x];
		for(int i=la[x]; i; i=pr[i])if(to[i]!=f)dfs(to[i],x);
		R[x]=id;
	}
} A[2];
int C[M][M];
struct P2 {
	ll dis[2][M],dp[M][M],G[M][M];
	struct node {
		ll y,x;
	} stk[M],stk2[M][M],od[M][M],Od[M];
	int L1[M],R1[M],L2[M][M],R2[M][M];//前面针对dp的，后面针对G的
	ll up(node l,node r) {//l在r的右面
		return r.y-l.y+l.x*l.x-r.x*r.x;
	}
	ll down(node l,node r) {
		return l.x-r.x;
	}
	ll calc(ll x) {
		return 1ll*x*x;
	}
	void Dfs(int x,int f,int rt) {
		int L,R,p;
		L1[x]=L1[f],R1[x]=R1[f];
		int &l=L1[x],&r=R1[x];
		if(x!=1) {
			p=l,L=l+1,R=r;
			while(L<=R) {
				int mid=(L+R)>>1;
				if(2.0*dis[1][f]*down(stk[mid],stk[mid-1])>=1.0*up(stk[mid],stk[mid-1]))p=mid,L=mid+1;
				else R=mid-1;
			}
			l=p,dp[rt][x]=stk[l].y-calc(stk[l].x-dis[1][f])+C[rt][x];
		}
		L=l,R=r-1,p=r;
		node now=(node)<%G[rt][x],dis[1][x]%>;
		while(L<=R) {
			int mid=(L+R)>>1;
			if(1.0*up(stk[mid+1],stk[mid])*down(now,stk[mid+1])>=1.0*up(now,stk[mid+1])*down(stk[mid+1],stk[mid]))p=mid,R=mid-1;
			else L=mid+1;
		}
		r=p,Od[x]=stk[r+1],stk[++r]=now;
		for(int y,i=A[1].la[x]; i; i=A[1].pr[i])if((y=A[1].to[i])!=f)Dfs(y,x,rt);
		if(x!=1)stk[R1[x]]=Od[x];
	}
	void dfs(int x,int f) {
		if(x!=1) {
			for(int y,i=1; i<=A[1].n; i++) {
				y=A[1].Id[i],L2[x][y]=L2[f][y],R2[x][y]=R2[f][y];
				int &l=L2[x][y],&r=R2[x][y],L=l+1,R=r,p=l;
				while(L<=R) {
					int mid=(L+R)>>1;
					if(2.0*dis[0][f]*down(stk2[y][mid],stk2[y][mid-1])>=1.0*up(stk2[y][mid],stk2[y][mid-1]))p=mid,L=mid+1;
					else R=mid-1;
				}
				l=p,G[x][y]=stk2[y][p].y-calc(dis[0][f]-stk2[y][p].x);
			}
			L1[0]=0,R1[0]=-1,Dfs(1,0,x);
		}
		for(int i=1; i<=A[1].n; i++) {
			int y=A[1].Id[i],&l=L2[x][y],&r=R2[x][y],L=l,R=r-1,p=r;
			node now=(node)<%dp[x][y],dis[0][x]%>;
			while(L<=R) {
				int mid=(L+R)>>1;
				if(1.0*up(stk2[y][mid+1],stk2[y][mid])*down(now,stk2[y][mid+1])>=1.0*up(now,stk2[y][mid+1])*down(stk2[y][mid+1],stk2[y][mid]))p=mid,R=mid-1;
				else L=mid+1;
			}
			r=p,od[x][y]=stk2[y][r+1],stk2[y][++r]=now;
		}
		for(int y,i=A[0].la[x]; i; i=A[0].pr[i])if((y=A[0].to[i])!=f)dfs(y,x);
		for(int y,i=1; i<=A[1].n; i++)y=A[1].Id[i],stk2[y][R2[x][y]]=od[x][y];
	}
	void solve() {
		A[0].dfs(1,0),A[1].dfs(1,0);
		for(int i=1; i<=A[0].n; i++)dis[0][i]=A[0].dis[i];
		for(int i=1; i<=A[1].n; i++)dis[1][i]=A[1].dis[i];
		memset(dp,-63,sizeof(dp)),memset(G,-63,sizeof(G)),memset(R2,-1,sizeof(R2)),memset(R1,-1,sizeof(R1));
		dp[1][1]=G[1][1]=0,dfs(1,0);
		ll ans=-1e18;
		for(int i=1; i<=A[0].n; i++)for(int j=1; j<=A[1].n; j++)ans=max(ans,dp[i][j]);
		printf("%lld\n",ans);
	}
} p2;
int main() {
	Rd(A[0].n),Rd(A[1].n);
	for(int i=2; i<=A[0].n; i++)Rd(A[0].a[i]);
	for(int i=2; i<=A[1].n; i++)Rd(A[1].a[i]);
	for(int i=2; i<=A[0].n; i++)Rd(A[0].fa[i]),A[0].add(A[0].fa[i],i);
	for(int i=2; i<=A[1].n; i++)Rd(A[1].fa[i]),A[1].add(A[1].fa[i],i);
	for(int i=2; i<=A[0].n; i++)for(int j=2; j<=A[1].n; j++)Rd(C[i][j]);
	p2.solve();
	return 0;
}