【做题】CSA49F - Card Collecting Game——思维&dp

原文链接 https://www.cnblogs.com/cly-none/p/CSA49F.html

题意：Alice和Bob在玩游戏。有$n$种卡牌，每种卡牌有$b_i$张，保证$\sum b_i$为偶数。现在，Alice要把所有卡牌任意平分为2份（仅要求每份卡牌数为$\frac {\sum b_i} {2}$），并对每份分别进行一次游戏。第一次游戏由Alice先手，第二次由Bob先手。

每次游戏中，Alice和Bob会轮流取走一张卡牌直到取尽。设最后Alice有$n_i$张第$i$种牌，那么她会得到$\left\lfloor \frac {n_i} {a_i} \right\rfloor c_i$的分数。一次游戏的得分是Alice从每种牌得到的分数总和。

现在，Alice想要最大化两次游戏的得分总和，Bob则想最小化。求出在两人都采取最优决策时的得分总和。

$n \leq 2\times 10^3, \ \sum a_i \leq 2 \times 10^3, \ \sum b_i \leq 5\times 10^5, \ c_i \geq 0$

先考虑如何计算一次游戏的得分。

首先，因为是轮流取，故对于每$2a_i$张卡牌$i$，都能产生$c_i$的分数。因此，我们可以先考虑这一部分的贡献，然后将所有$n_i$对$2a_i$取模。

接下来，考虑如果$n_i < 2a_i - 1$，那么只要Bob跟着Alice取，Alice就得不到这个$c_i$。当$n_i = 2a_i - 1$时，先手就能恰好取到$a_i$张牌，但先后手顺序会交换。

因此，对于剩下来的卡牌，我们忽略$n_i < 2a_i - 1$的，并对剩下的按$c_i$从大到小排序。那么，若Alice先手，就能得到$\sum_{2 \nmid i} c_i$的分数；否则就是$\sum_{2 | i} c_i$。

那么，我们就能得到一个dp的做法。以$c_i$为关键字排序后，设$dp[i,j,a,b]$表示当前处理了前$i$种卡牌，第一份已经有$j$张卡牌，且第一份有$a$种$n_i$对$2a_i$取模后是$2a_i-1$的卡牌，第二份有$b$种。注意到只要记录$a$和$b$的奇偶性就可以了。暴力转移，则这个dp的复杂度是$O((\sum b_i)^2)$。

但这样还不足以解决本题。考虑$\sum a_i$比较小，故我们要从这个角度来优化dp。

先注意到两点，一是我们在转移时，产生的贡献只和放到第一份的数量对$2a_i$取模的值有关；二是dp状态中最庞大的$j$，最后只是用来确定第一份的数量等于$\frac {\sum b_i} {2}$的。于是我们考虑对$j$进行优化，目的是在转移时，只用枚举放在第一份的数量对$2a_i$取模的值。

于是我们把第一份卡牌分为两个部分，一部分是所有$n_i$对$2a_i$取模后的结果，则另一部分的卡牌总数就是$\sum_{i} 2a_ik_i$的形式。要保证第一份的卡牌总数为一个固定值，我们就要求出$\sum_{i} 2a_i k_i$的能表示出哪些数。

先考虑$k_i$的取值范围。设$n_i \mod 2a_i = r_i$，那么$k_i$就是在$\left[ 0, \left\lfloor \frac {b_i - r_i} {2a_i} \right\rfloor \right]$之间的整数。但$\left\lfloor \frac {b_i - r_i} {2a_i} \right\rfloor$有两种取值：在$r_i \leq b_i \mod 2a_i$时，为$\left\lfloor \frac {b_i} {2a_i} \right\rfloor$；否则是$\left\lfloor \frac {b_i} {2a_i} \right\rfloor - 1$。于是我们不妨就令$k_i$的上界为$\left\lfloor \frac {b_i} {2a_i} \right\rfloor - 1$，当$r_i \leq b_i$的时候，把多出来的那个$2a_i$算在第一部分里就可以了。

剩下就是一个背包问题。注意到我们可以把$a_i$相等的数放在一起计算，而$a_i$只有$ \sqrt {\sum a_i}$种取值，因此这个问题的复杂度是$O(\sqrt {\sum a_i} (\sum b_i))$的。

总结一下，第一部分的处理和$O((\sum b_i)^2)$的算法差不多，但这一部分的复杂度是$O((\sum a_i)^2)$的。第二部分的背包，复杂度为$O(\sqrt {\sum a_i} (\sum b_i))$。

于是时间复杂度为$O((\sum a_i)^2 + \sqrt {\sum a_i} (\sum b_i))$。

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int A = 2010, B = 500010, N = 2010;
int dp[2][A << 2][2][2], bag[B], n, num[A], p, sa, sb, ans;
struct data {
  int a,b,c;
  bool operator < (const data& x) const {
    return c > x.c;
  }
} dat[N];
inline void ckmx(int& x,int y) {
  x = x < y ? y : x;
}
int main() {
  scanf("%d",&n);
  for (int i = 1 ; i <= n ; ++ i)
    scanf("%d%d%d",&dat[i].a, &dat[i].b, &dat[i].c);
  sort(dat+1,dat+n+1);
  for (int i = 1 ; i <= n ; ++ i) {
    if (dat[i].b / (dat[i].a << 1) - 1 > 0)
      num[dat[i].a] += dat[i].b / (dat[i].a << 1) - 1;
    sa += dat[i].a;
    sb += dat[i].b;
  }
  p = 1;
  memset(dp,-1,sizeof dp);
  dp[0][0][0][0] = 0;
  for (int i = 1, sum = 0 ; i <= n ; ++ i, p ^= 1) {
    memset(dp[p],-1,sizeof dp[p]);
    for (int j = 0 ; j <= (sum << 2) ; ++ j)
      for (int a = 0 ; a < 2 ; ++ a)
        for (int b = 0 ; b < 2 ; ++ b) {
          if (dp[p^1][j][a][b] == -1) continue;
          for (int k = 0 ; k < 2 * dat[i].a && k <= dat[i].b ; ++ k) {
            int tmp = (dat[i].b - k) / (dat[i].a << 1), na = a, nb = b;
            if (k == 2 * dat[i].a - 1) {
              if (!na) tmp ++;
              na ^= 1;
            }
            if ((dat[i].b - k) % (dat[i].a << 1) == (dat[i].a << 1) - 1) {
              if (nb) tmp ++;
              nb ^= 1;
            }
            tmp = tmp * dat[i].c;
            ckmx(dp[p][j + k][na][nb], dp[p^1][j][a][b] + tmp);
            if (dat[i].b >= 2 * dat[i].a && k <= dat[i].b % (dat[i].a << 1))
              ckmx(dp[p][j + k + 2 * dat[i].a][na][nb], dp[p^1][j][a][b] + tmp);
          }
        }
    sum += dat[i].a;
  }
  bag[0] = 1;
  for (int i = 1 ; i < A ; ++ i) {
    if (!num[i]) continue;
    for (int j = 0 ; j <= sb ; ++ j) {
      if (bag[j]) bag[j] = 0;
      else {
        bag[j] = -1;
        if (j >= 2 * i) {
          if (bag[j - 2 * i] != -1)
            bag[j] = bag[j - 2 * i] + 1;
        }
      }
    }
    for (int j = 0 ; j <= sb ; ++ j)
      if (bag[j] == -1) bag[j] = 0;
      else if (bag[j] <= num[i]) bag[j] = 1;
      else bag[j] = 0;
  }
  p ^= 1;
  for (int i = 0 ; i <= (sa << 2) && i <= (sb >> 1) ; ++ i)
    for (int a = 0 ; a < 2 ; ++ a)
      for (int b = 0 ; b < 2 ; ++ b) {
        if (dp[p][i][a][b] == -1) continue;
        if (bag[(sb >> 1) - i]) ans = max(ans, dp[p][i][a][b]);
      }
  printf("%d\n",ans);
  return 0;
}

小结：这个问题相当有难度。得到$O((\sum b_i)^2)$的dp已经偏难，而后一部分的优化对思维能力和细节处理能力的要求，是在博主目前能力之上的，也体现了算法优化的一些重要思路。