【做题】agc016d - XOR Replace——序列置换&环
原文链接 https://www.cnblogs.com/cly-none/p/9813163.html
题意:给出初始序列\(a\)和目标序列\(b\),都有\(n\)个元素。每次操作可以把\(a\)中的一个元素替换为\(a\)中所有元素的异或和,问最少操作多少次,把序列\(a\)变成序列\(b\),或判断无解。
\(n \leq 10^5\)
首先,这个“替换为所有元素的异或和”,其实就是一开始有\(v\)为\(a\)中所有元素异或和,每次操作把\(a\)中某个元素与\(v\)交换。再转化一下,也就是一开始\(a_0\)为\(a\)中所有元素的异或和,每次可以把\(a\)中的某个元素和\(a_0\)交换。
这样很容易能判断无解的情况。现在只考虑如何求出操作的最小次数。
先不考虑元素相等的情况。那么就变成了一个排列的置换。考虑其中的每一个环,设环大小为\(m \, (m > 1)\),假如其中不包含\(a_0\),那么这个环就需要\(m+1\)次操作来处理;否则只需要\(m-1\)次。
而当有元素相等时,我们也可以类似于排列处理。定义每一对\((a_i,b_i)\)产生一条\((a_i,b_i)\)的有向边。因为包含\(a_0\)的环的个数是固定的,所以要最小化答案,我们就要最小化环的个数。但是这道题的图存在特殊性质:每一个弱连通分量都是由若干个有向环组成的,这意味着一定存在欧拉闭迹。因此,每个连通分量都能用只一个环解决。这显然也是答案的下界。
然后还有\(a_0\)的一点细节。
- \(a_0 \neq b_0\)。那么,\(a_0\)一定在一个大于1的环上。最终答案减二。
- \(a_0 = b_0\),但\(a_0\)所在的弱连通分量大于1。这样,那个弱连通分量的操作个数能少一个。
- \(a_0 = b_0\),且\(a_0\)所在弱连通分量大小为1。那它对答案没有什么影响。
时间复杂度\(O(n \log n)\)。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100010;
int a[N],n,b[N],tmp,ans,cur,uni[N],sz[N],vis[N];
map<int,int> mp;
typedef pair<int,int> pii;
vector<int> vec;
template <typename tp>
void outputarr(tp *a,tp *b) {
while (a != b)
cerr << *a << ' ', ++ a;
cerr << endl;
}
int getfa(int pos) {
return pos == uni[pos] ? pos : uni[pos] = getfa(uni[pos]);
}
int main() {
scanf("%d",&n);
for (int i = 1 ; i <= n ; ++ i)
scanf("%d",&a[i]), tmp ^= a[i];
a[0] = tmp;
for (int i = 1 ; i <= n ; ++ i)
scanf("%d",&b[i]);
for (int i = 0 ; i <= n ; ++ i)
++ mp[a[i]];
for (int i = 1 ; i <= n ; ++ i) {
if (!mp.count(b[i]))
return puts("-1"), 0;
if (mp[b[i]] == 0) return puts("-1"), 0;
mp[b[i]]--;
}
for (int i = 0 ; i <= n ; ++ i)
if (mp[a[i]]) b[0] = a[i];
for (int i = 0 ; i <= n ; ++ i)
vec.push_back(a[i]);
sort(vec.begin(),vec.end());
vec.erase(unique(vec.begin(),vec.end()),vec.end());
for (int i = 0 ; i <= n ; ++ i)
a[i] = lower_bound(vec.begin(),vec.end(),a[i]) - vec.begin() + 1, \
b[i] = lower_bound(vec.begin(),vec.end(),b[i]) - vec.begin() + 1;
for (int i = 0 ; i <= n ; ++ i)
uni[a[i]] = a[i];
for (int i = 0 ; i <= n ; ++ i) {
int x = getfa(a[i]), y = getfa(b[i]);
if (x != y)
uni[x] = y;
}
for (int i = 0 ; i <= n ; ++ i) {
if (a[i] == b[i]) continue;
++ ans;
++ sz[getfa(a[i])];
}
for (int i = 0 ; i <= n ; ++ i) {
if (a[i] == b[i]) continue;
if (a[i] == getfa(a[i]) && !vis[a[i]]) {
++ ans;
vis[a[i]] = 1;
}
}
if (a[0] != b[0]) ans --;
if (sz[getfa(a[0])] > 1) ans --;
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
小结:早上的训练赛搬了这道题。从我的FST中,也可以看出我对问题的考虑不够仔细。补题过程中思维混乱的问题也很明显,导致花费了很多时间。