【做题】Codeforces Round #429 (Div. 2) E. On the Bench——组合问题+dp

题目大意是给你n个数，求相邻两数相乘不是完全平方数的排列数。

一开始看到这题的时候，本人便想给相乘为完全平方数的数对建边，然后就写萎了...

后来通过集体智慧发现这个重要性质：对于自然数a,b,c，若a*b为完全平方数，且b*c为完全平方数，那么a*c就是完全平方数。（我居然没想到）因此就可以对这n个数进行分组，使得每一组中两个数两两相乘为完全平方数，不同组的数两两相乘不是完全平方数。假设分成tot组，第i组的数的个数为num[i]。这也就等同于相同的数不能相邻的排列问题。

于是通过PY就得到了动规的做法：

定义数组dp[i,j]，其中i表示前i组数，j表示有多少对相邻的同组的数（这也等价于有j个地方需要插入其他的数），而dp[i,j]就表示在当前状态下的方案数。那么最终答案就是dp[tot,0]。

定义m为前i-1组数的元素个数之和，在dp过程中维护。

当新加入第i组数的时候，把这num[i]个数分成k份（方案数是C(num[i]-1,k-1)），插入到m+1个空位中。

此时需要分类讨论：

在这m+1个空位中，有j个空位是特殊的，若插入其中会影响新生成的排列的相邻同组数的数目。于是设k份中的p份插入这j个空位中，剩下k-p份插入m+1-j个空位中。

就可以得到dp[i,j+num[i]-k-p]+=dp[i-1,j]*C(num[i-1],k-1)*C(j,p)*C(m+1-j,k-p);

这我一开始也不是很理解...

当然代码与这里有所差异。

注：因为dp是基于每一组数中的元素相同的前提的，所以最后答案还要乘以每一组数的A(num[i],num[i])。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=310,MOD=1000000007;
long long num[N],c[N][N];
long long dp[N][N],a[N];
int tmp,n,tot,example[N];
bool key;
bool ask(int x,int y)
{
    long long re=1;
    re*=x;
    re*=y;
    long long f=sqrt(re);
    if(f*f==re) return 1;
    return 0;
}
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>tmp;
        key=1;
        for(int j=1;j<=tot;j++)
        {
            if(ask(tmp,example[j]))
            {
                num[j]++;
                key=0;
                break;
            }
        }
        if(key)
        {
            num[++tot]=1;
            example[tot]=tmp;
        }
    }
    for(int i=0;i<=n;i++)
     c[i][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
     for(int j=1;j<=i;j++)
     {
         c[i][j]=c[i-1][j]+c[i-1][j-1];
         c[i][j]%=MOD;
     }
    int m=0;
    a[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        a[i]=a[i-1]*i;
        a[i]%=MOD;
    }
    dp[0][0]=1;
    long long temp,temp1;
    for(int i=1;i<=tot;i++)
    {
        for(int j=0;j<n&&j<=m+1;j++)
        {
            if(dp[i-1][j]==0) continue;
            for(int k=0;k<num[i];k++)
            {
                temp=dp[i-1][j]*c[num[i]-1][k];temp%=MOD;
                for(int p=0;p<=k+1&&p<=j+num[i]-1-k;p++)
                {
                    temp1=temp*c[j][p];temp1%=MOD;//本人因为数据溢出炸了几次
                    dp[i][j+num[i]-1-k-p]+=(temp1*c[m+1-j][k+1-p])%MOD;
                    dp[i][j+num[i]-1-k-p]%=MOD;
                }
            }
        }
        m+=num[i];
    }
    for(int i=1;i<=tot;i++)
    {
        dp[tot][0]*=a[num[i]];
        dp[tot][0]%=MOD;
    }
    cout<<dp[tot][0]<<endl;
    return 0;
}