BZOJ4714 : 旋转排列

对于每个$k$，问题等价于求有多少置换满足：

1.存在一个循环长度为$k$

2.任意一个循环长度$\geq 2$

枚举这种环的个数$t$：

设$g_t$表示至少有$kt$个人分成$t$个长度为$k$的循环的方案数，考虑枚举第一个人和哪些人分在了一起，同时有$(k-1)!$种可能的环，有$g_t=C(kt-1,k-1)g_{t-1}(k-1)!$。

设$d_i$表示$i$个人错位排列的方案数，那么至少有$t$个长度为$k$的循环的方案数为$C(n,kt)g_td_{n-kt}$。

考虑容斥，则这部分对答案的贡献为$(-1)^{t-1}C(n,kt)g_td_{n-kt}$。

时间复杂度$O(n\log n)$。

 

#include<cstdio>
const int N=500010,P=1000000007;
int n,i,j,k,t,f[N],inv[N],d[N],g[N],ans;
int main(){
  scanf("%d",&n);
  for(f[0]=i=1;i<=n;i++)f[i]=1LL*f[i-1]*i%P;
  for(inv[0]=inv[1]=1,i=2;i<=n;i++)inv[i]=1LL*(P-inv[P%i])*(P/i)%P;
  for(i=1;i<=n;i++)inv[i]=1LL*inv[i-1]*inv[i]%P;
  for(d[0]=d[2]=1,i=3;i<=n;i++)d[i]=1LL*(i-1)*(d[i-2]+d[i-1])%P;
  for(i=0;i<=n;i++)d[i]=1LL*d[i]*inv[i]%P;
  for(g[0]=1,i=2;i<=n;i++)for(j=1,k=i;k<=n;j++,k+=i){
    g[j]=1LL*g[j-1]*f[k-1]%P*inv[k-i]%P;
    t=1LL*inv[k]*d[n-k]%P*g[j]%P;
    if(j&1){
      ans+=t;
      if(ans>=P)ans-=P;
    }else{
      ans-=t;
      if(ans<0)ans+=P;
    }
  }
  ans=1LL*ans*f[n]%P;
  return printf("%d",ans),0;
}