Moscow Pre-Finals Workshop 2016. National Taiwan U Selection
A. As Easy As Possible
每个点往右贪心找最近的点，可以得到一棵树，然后倍增查询即可。
时间复杂度$O((n+m)\log n)$。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std ;
typedef long long LL ;
typedef long long Int ;
typedef pair < int , int > pi ;
#define clr(a,x) memset ( a , x , sizeof a )
char s[100020];
int a[100020];
int n;
int nxt[100020][4];
int dp[18][100020];
int cg(char c){
if(c=='e')return 0;
if(c=='a')return 1;
if(c=='s')return 2;
return 3;
}
void prepare(){
int cur[4];
for(int i=0;i<n;i++)a[i]=cg(s[i]);
for(int i=0;i<4;i++)cur[i]=n;
for(int i=n-1;i>=0;i--){
cur[a[i]]=i;
for(int j=0;j<4;j++){
nxt[i][j]=cur[j];
}
}
for(int i=0;i<4;i++)nxt[n][i]=n;
for(int i=0;i<n;i++){
int cur=nxt[i][0];
for(int it2=1;it2<4;it2++){
cur=nxt[cur][(it2)%4];
}
dp[0][i]=cur;
}
for(int it=1;(1<<it)<=n;it++){
for(int i=0;i<n;i++)dp[it][i]=n;
int len=1<<it;
for(int i=0;i<n;i++){
int to=dp[it-1][i]+1;
if(to>=n){dp[it][i]=n;continue;}
dp[it][i]=dp[it-1][to];
}
}
/*
for(int i=0;(1<<i)<=n;i++){
for(int j=0;j<n;j++)printf("%d ",dp[i][j]);puts("");
}
*/
}
int main(){
scanf("%s",s);
n=strlen(s);
prepare();
int q;
scanf("%d",&q);
while(q--){
int l,r;scanf("%d%d",&l,&r);
l--,r--;
int ans=0;
int cur=l;
int maxx=0;while((1<<maxx)<=n)maxx++;
maxx--;
//printf("maxx=%d\n",maxx);
for(int i=maxx;i>=0&&l<=r;i--){
if(dp[i][l]<=r){
// printf("l=%d dp=%d\n",l,dp[i][l]);
ans|=1<<i;
l=dp[i][l]+1;
continue;
}
}
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
B. Be Friends
从高位到低位依次考虑，对于每一位，按这一位将数字分成两个集合，显然这两个集合要优先连边，那么只需要找到横跨这两个集合的最小的边即可，用Trie完成查询。
时间复杂度$O(n\log^2m)$。
#include<cstdio>
#include<algorithm>
const int N=100010,M=N*32;
int n,i,a[N],q[N],son[M][2],tot;long long ans;
inline void ins(int p){
for(int o=29,x=0;~o;o--){
int w=p>>o&1;
if(!son[x][w])son[x][w]=++tot;
x=son[x][w];
}
}
inline int ask(int p){
int t=0;
for(int o=29,x=0;~o;o--){
int w=p>>o&1;
if(son[x][w])x=son[x][w];else x=son[x][w^1],t|=1<<o;
}
return t;
}
void solve(int o,int l,int r){
if(o<0||l>r)return;
int L=l-1,R=r+1;
for(int i=l;i<=r;i++)if(a[i]>>o&1)q[++L]=a[i];else q[--R]=a[i];
for(int i=l;i<=r;i++)a[i]=q[i];
solve(o-1,l,L),solve(o-1,R,r);
if(l>L||R>r)return;
for(int i=l;i<=L;i++)ins(a[i]);
int ret=~0U>>1;
for(int i=R;i<=r;i++)ret=std::min(ret,ask(a[i]));
ans+=ret;
for(int i=0;i<=tot;i++)son[i][0]=son[i][1]=0;
tot=0;
}
int main(){
scanf("%d",&n);
for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
solve(29,1,n);
printf("%lld",ans);
return 0;
}
C. Coprime Heaven
留坑。
D. Drawing Hell
游戏的最终局面一定是一个三角剖分，因此边数只与凸包上的点数有关，判一下奇偶性即可。
E. Easiest Game
合法的$(r,s)$需要满足：
1.$r+s\leq\min(n,m)$
2.$\gcd(r,s)=1$
3.$r\bmod 2\neq s\bmod 2$
4.$\max(r,s)\leq\lfloor\frac{\max(n,m)}{2}\rfloor$
假设没有互质的限制，那么可以直接$O(1)$算出答案$f(n,m)$，加上限制之后$ans=\sum_{d}\mu(d)f(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor,\lfloor\frac{m}{d}\rfloor)$，分段计算即可。
时间复杂度$O(n+T\sqrt{n})$。
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<math.h>
#include<string.h>
#include<string>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<time.h>
#include<assert.h>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int,int>pi;
const int Maxp=10000002;
int pri[3000020],cntp;
bool isp[Maxp];
int miu[Maxp],sum[Maxp];
int realans;
void precal(){
for(int i=2;i<Maxp;i++){
if(!isp[i]){pri[cntp++]=i;miu[i]=-1;}
for(int j=0;j<cntp;j++){
if(1LL*pri[j]*i>=Maxp)break;
isp[pri[j]*i]=1;
if(i%pri[j]){
miu[i*pri[j]]=-miu[i];
}
else{
miu[i*pri[j]]=0;
break;
}
}
}
sum[1]=1;
for(int i=2;i<Maxp;i++){
sum[i]=sum[i-1];
if(i&1)sum[i]+=miu[i];
}
}
int n,m;
int done[111][111];
bool has[111][111];
int cnt[111][111];
int di[4][2]={{1,1},{1,-1},{-1,1},{-1,-1}};
bool ok(int x,int y){
return x>=1&&x<=n&&y>=1&&y<=m;
}
bool check(int dx,int dy){
memset(done,0,sizeof done);
queue<pi>q;
done[1][1]=1;q.push(pi(1,1));
while(!q.empty()){
pi u=q.front();q.pop();
int x=u.first,y=u.second;
for(int i=0;i<4;i++){
int nx=x+dx*di[i][0],ny=y+dy*di[i][1];
if(ok(nx,ny)&&!done[nx][ny]){done[nx][ny]=1;q.push(pi(nx,ny));}
}
for(int i=0;i<4;i++){
int nx=x+dy*di[i][0],ny=y+dx*di[i][1];
if(ok(nx,ny)&&!done[nx][ny]){done[nx][ny]=1;q.push(pi(nx,ny));}
}
}
bool flag=1;
for(int i=1;i<=n&&flag;i++)for(int j=1;j<=m&&flag;j++)if(!done[i][j]){flag=0;break;}
return flag;
}
bool should(int x,int y){
if(x>y)swap(x,y);
return ((x+y)<=min(n,m))&&(__gcd(x,y)==1)&&((x%2)!=(y%2))&&(max(x,y)<=max(n,m)/2);
}
void solve(){
vector<pi>rep;
memset(has,0,sizeof has);
for(int i=1;i<=max(n,m);i++){
for(int j=1;j<=max(n,m);j++){
if(check(i,j)){
//printf("i=%d j=%d\n",i,j);
realans++;
has[i][j]=1;
rep.push_back(pi(i,j));
}
//if(should(i,j)!=has[i][j])printf("wax=%d y=%d hasval=%d\n",i,j,has[i][j]);
}
}
//printf("ans[%d][%d]=\n",n,m);
//for(pi u:rep)printf("%d %d\n",u.first,u.second);
}
LL cal(int st,int ed,int del){
if(st>ed)return 0;
int n=(ed-st)/del+1;
ed=st+(n-1)*del;
return 1LL*(st+ed)*n/2;
}
LL f(int A,int B){
LL ret=0;
if(A-1<=B){
ret=cal(2,A-1,2);//2+4+...+A-1
}
else{
ret=cal(2,B,2);
if((A-B+B)&1)ret+=cal(2*B-A+1,B-1,2);
else ret+=cal(2*B-A+2,B-1,2);
}
return ret;
}
LL go(int n,int m){
if(n==1&&m==1)return 1;
if(n>m)swap(n,m);
int A=n,B=m/2;
LL ret=0;
for(int g=1,ng;g<=B&&g<=A;g=ng+1){
int val1=A/g,val2=B/g;
ng=min(A/val1,B/val2);
ret+=1LL*(sum[ng]-sum[g-1])*f(val1,val2);
//printf("g=%d ret=%lld val1=%d val2=%d\n",g,ret,val1,val2);
}
return ret/2;
return ret;
}
int main(){
/*
int LIM=100;
for(n=1;n<=LIM;n++)
for(m=n;m<=LIM;m++){solve();}
puts("ok");
*/
/*
for(int i=1;i<=LIM;i++){
for(int j=1;j<=LIM;j++){
printf("%2d ",cnt[min(i,j)][max(i,j)]);
}
puts("");
}
*/
precal();
int _;scanf("%d",&_);
while(_--){
scanf("%d%d",&n,&m);
// for(n=1;n<=100;n++)
// for(m=1;m<=100;m++){
LL ans=go(n,m);
printf("%lld\n",ans);
//realans=0;
//solve();
//if((realans+1)/2!=ans){printf("wan=%d wam=%d\n",n,m);while(1);}
//printf("real=%d\n",(realans+1)/2);
}
return 0;
}
F. Fibonacci of Fibonacci
打表可以发现循环节为$26880696$，然后直接用矩阵快速幂计算答案即可。
#include<cstdio>
#define rep(i) for(int i=0;i<2;i++)
int T,n,P;
struct mat{
int v[2][2];
mat(){rep(i)rep(j)v[i][j]=0;}
mat operator*(const mat&b){
mat c;
rep(i)rep(j)rep(k)c.v[i][j]=(1LL*v[i][k]*b.v[k][j]+c.v[i][j])%P;
return c;
}
}G,B;
int fib(int n,int p){
P=p;
G=B=mat();
G.v[0][1]=G.v[1][0]=G.v[1][1]=B.v[1][0]=1;
for(;n;n>>=1,G=G*G)if(n&1)B=G*B;
return B.v[0][0];
}
int main(){
scanf("%d",&T);
while(T--)scanf("%d",&n),printf("%d\n",fib(fib(n,26880696),20160519));
return 0;
}
G. Global Warming
留坑。
H. Hash Collision
设$f[i][j]$表示长度为$i$的串中Hash值为$j$的方案数，那么$ans=\sum_{i=0}^{m-1}C(f[n][i],2)$。
从$f[i][]$转移到$f[i+1][]$的复杂度为$O(26)$，而从$f[i][]$转移到$f[2i][]$可以用FFT做到$O(m\log m)$，因此倍增计算$f[n][]$即可。
时间复杂度$O(m\log m\log n)$。
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=65555,P=1000003,M=1000;
int n,i,j,k,pos[N],f[N],g[N],seed,m,ans;
int A[N],B[N],C[N];
namespace FFT{
struct comp{
double r,i;comp( double _r=0, double _i=0){r=_r,i=_i;}
comp operator+(const comp&x){return comp(r+x.r,i+x.i);}
comp operator-(const comp&x){return comp(r-x.r,i-x.i);}
comp operator*(const comp&x){return comp(r*x.r-i*x.i,r*x.i+i*x.r);}
comp conj(){return comp(r,-i);}
}A[N],B[N];
int a0[N],b0[N],a1[N],b1[N];
const double pi=acos(-1.0);
void FFT(comp*a,int n,int t){
for(int i=1;i<n;i++)if(i<pos[i])swap(a[i],a[pos[i]]);
for(int d=0;(1<<d)<n;d++){
int m=1<<d,m2=m<<1;
double o=pi*2/m2*t;comp _w(cos(o),sin(o));
for(int i=0;i<n;i+=m2){
comp w(1,0);
for(int j=0;j<m;j++){
comp&A=a[i+j+m],&B=a[i+j],t=w*A;
A=B-t;B=B+t;w=w*_w;
}
}
}
if(t==-1)for(int i=0;i<n;i++)a[i].r/=n;
}
void mul(int*a,int*b,int*c){
int i,j;
for(i=0;i<k;i++)A[i]=comp(a[i],b[i]);
FFT(A,k,1);
for(i=0;i<k;i++){
j=(k-i)&(k-1);
B[i]=(A[i]*A[i]-(A[j]*A[j]).conj())*comp(0,-0.25);
}
FFT(B,k,-1);
for(i=0;i<k;i++)c[i]=((long long)(B[i].r+0.5))%P;
}
void mulmod(int*a,int*b,int*c){
int i;
for(i=0;i<k;i++)a0[i]=a[i]/M,b0[i]=b[i]/M;
for(mul(a0,b0,a0),i=0;i<k;i++){
c[i]=1LL*a0[i]*M*M%P;
a1[i]=a[i]%M,b1[i]=b[i]%M;
}
for(mul(a1,b1,a1),i=0;i<k;i++){
c[i]=(a1[i]+c[i])%P,a0[i]=(a0[i]+a1[i])%P;
a1[i]=a[i]/M+a[i]%M,b1[i]=b[i]/M+b[i]%M;
}
for(mul(a1,b1,a1),i=0;i<k;i++)c[i]=(1LL*M*(a1[i]-a0[i]+P)+c[i])%P;
}
}
int cnt,q[55];
int main(){
scanf("%d%d%d",&n,&m,&seed);
for(k=1;k<m;k<<=1);k<<=1;
j=__builtin_ctz(k)-1;
for(i=0;i<k;i++)pos[i]=pos[i>>1]>>1|((i&1)<<j);
int len=1;
//for(i=0;i<m;i++)printf("%d ",f[i]);puts("");
while(n)q[++cnt]=n&1,n>>=1;
for(j='A';j<='Z';j++)f[j%m]++;
for(int o=cnt-1;o;o--){
for(i=0;i<k;i++)A[i]=B[i]=0;
int mul=1;
for(i=0;i<len;i++)mul=1LL*mul*seed%m;
for(i=0;i<m;i++){
A[1LL*i*mul%m]=(A[1LL*i*mul%m]+f[i])%P;
B[i]=f[i];
}
len<<=1;
FFT::mulmod(A,B,C);
for(i=0;i<m;i++)f[i]=0;
for(i=0;i<k;i++)f[i%m]=(f[i%m]+C[i])%P;
if(q[o]){
for(i=0;i<m;i++)g[i]=0;
for(i=0;i<m;i++)if(f[i])for(j='A';j<='Z';j++)g[(1LL*i*seed+j)%m]=(g[(1LL*i*seed+j)%m]+f[i])%P;
for(i=0;i<m;i++)f[i]=g[i];
len++;
}
}
for(i=0;i<m;i++)ans=(1LL*f[i]*(f[i]-1+P)+ans)%P;
ans=1LL*ans*((P+1)/2)%P;
printf("%d",ans);
return 0;
}
I. Increasing or Decreasing
经典数位DP。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std ;
typedef long long LL ;
typedef pair < int , int > pi ;
#define clr(a,x) memset ( a , x , sizeof a )
typedef long long Int ;
int dp[20][3][10][2];
int num[22];
int dfs(int cur,int dd,int bef,int qd){
if(cur<0)return 1;
int &t=dp[cur][dd][bef][qd];
if(t>=0)return t;
t=0;
for(int i=0;i<10;i++){
if((dd==1)&&(i>bef)&&qd)continue;
if((dd==2)&&(i<bef)&&qd)continue;
int ndd;
int nqd=qd||(i>0);
if(qd==0)ndd=0;
else{
if(i<bef)ndd=1;
else if(i>bef)ndd=2;
else ndd=dd;
}
t+=dfs(cur-1,ndd,i,nqd);
}
return t;
}
int deal(LL x){
if(!x)return 1;
int tot=0;
while(x){num[tot++]=x%10,x/=10;}
reverse(num,num+tot);
int dd=0;
int ret=0;
for(int i=0;i<tot;i++){
int curdd;
for(int j=0;j<10;j++){
if(num[i]<=j)continue;
if(i==0)curdd=0;
else{
if(j>num[i-1])curdd=2;
else if(j==num[i-1])curdd=0;
else curdd=1;
}
if(dd&&curdd&&(dd!=curdd))continue;
int nqd=((i==0)&&(j==0))?0:1;
ret+=dfs(tot-i-2,max(dd,curdd),j,nqd);
//if(!i)printf("val=%d\n",tot-i-2);
}
if(i==0)curdd=0;
else{
if(num[i]>num[i-1])curdd=2;
else if(num[i]==num[i-1])curdd=0;
else curdd=1;
}
//printf("%d %d ret=%d\n",i,num[i],ret);
if(dd&&curdd&&(dd!=curdd)){dd=-1;break;}
//printf("dd=%d curdd=%d\n",dd,curdd);
dd=max(dd,curdd);
}
if(dd>=0)ret++;
return ret;
}
int main(){
memset(dp,-1,sizeof dp);
int _;scanf("%d",&_);
while(_--){
LL l,r;
scanf("%lld%lld",&l,&r);
int ans=deal(r);
ans-=deal(l-1);
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
J. Just Convolution
因为数据随机，所以可以取出$A$中最大$200$项和$B$中所有项暴力更新答案，然后再取出$B$中最大$200$项和$A$中所有项暴力更新答案，最后再取出$A$中和$B$中最大的$3000$项更新答案即可。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std ;
const int MAXN = 200005 ;
struct Node {
int x , i ;
bool operator < ( const Node& a ) const {
return x > a.x ;
}
} ;
Node a[MAXN] , b[MAXN] ;
int c[MAXN] ;
int n ;
void solve () {
for ( int i = 0 ; i < n ; ++ i ) {
scanf ( "%d" , &a[i].x ) ;
a[i].i = i ;
}
for ( int i = 0 ; i < n ; ++ i ) {
scanf ( "%d" , &b[i].x ) ;
b[i].i = i ;
}
for ( int i = 0 ; i < n ; ++ i ) {
c[i] = 0 ;
}
sort ( a , a + n ) ;
sort ( b , b + n ) ;
int k = min ( n , 3000 ) ;
for ( int i = 0 ; i < k ; ++ i ) {
for ( int j = 0 ; j < k ; ++ j ) {
int t = ( a[i].i + b[j].i ) % n ;
c[t] = max ( c[t] , a[i].x + b[j].x ) ;
}
}
int m = min ( n , 200 ) ;
for ( int i = k ; i < n ; ++ i ) {
for ( int j = 0 ; j < m ; ++ j ) {
int t1 = ( a[i].i + b[j].i ) % n ;
int t2 = ( b[i].i + a[j].i ) % n ;
c[t1] = max ( c[t1] , a[i].x + b[j].x ) ;
c[t2] = max ( c[t2] , b[i].x + a[j].x ) ;
}
}
for ( int i = 0 ; i < n ; ++ i ) {
i && putchar ( ' ' ) ;
printf ( "%d" , c[i] ) ;
}
puts ( "" ) ;
}
int main () {
while ( ~scanf ( "%d" , &n ) ) solve () ;
return 0 ;
}
