BZOJ3738 : [Ontak2013]Kapitał
$C_{N+M}^N=\frac{(N+M)!}{N!M!}$
考虑求出$ans\bmod 10^9$的值
$10^9=2^9\times5^9$
以$2^9$为例,先预处理出$1$..$2^9$中不是2的倍数的数的前缀积s[],显然$n!\bmod 2^9$有着长度为$2^9$的循环节
将答案表示成$a\times2^b$的形式,$a$与$2^9$互质,可以直接逆元,b直接相减即可
cal(n).a=s[n%512]*pow(s[512],n/512)*cal(n/2).a
cal(n).b=n/2+cal(n/2).b
如此递归计算即可
答案中末尾0的个数为min(2的个数,5的个数)
以$2^9$为例,除以10相当于乘上5的逆元,同时2的个数减1
分别算出答案后再用中国剩余定理合并即可
#include<cstdio> typedef long long ll; ll n,m,k,x,y,P,B,s[2000000],res[2],del,ans,i,T=1; ll exgcd(ll a,ll b){ if(!b)return x=1,y=0,a; ll d=exgcd(b,a%b),t=x; return x=y,y=t-a/b*y,d; } ll rev(ll a,ll P){exgcd(a,P);while(x<0)x+=P;return x%P;} ll pow(ll a,ll b,ll P){ll t=1;for(;b;b>>=1LL,a=a*a%P)if(b&1LL)t=t*a%P;return t;} struct Num{ ll a,b; Num(){a=1,b=0;} Num(ll _a,ll _b){a=_a,b=_b;} Num operator*(Num x){return Num(a*x.a%P,b+x.b);} Num operator/(Num x){return Num(a*rev(x.a,P)%P,b-x.b);} }now[2]; Num cal(ll n){return n?Num(s[n%P]*pow(s[P],n/P,P)%P,n/B)*cal(n/B):Num(1,0);} void pre(){for(i=s[0]=1;i<P;i++)if(i%B)s[i]=s[i-1]*i%P;else s[i]=s[i-1];s[P]=s[P-1];} int main(){ scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k); while(k--)T*=10; B=2,P=512,pre(); now[0]=cal(n+m)/cal(n)/cal(m); del=now[0].b; B=5,P=1953125,pre(); now[1]=cal(n+m)/cal(n)/cal(m); if(del>now[1].b)del=now[1].b; while(del--)P=512,now[0]=now[0]/Num(5,1),P=1953125,now[1]=now[1]/Num(2,1); B=2,P=512,res[0]=now[0].a*pow(B,now[0].b,P)%P; B=5,P=1953125,res[1]=now[1].a*pow(B,now[1].b,P)%P; ans=(1953125LL*rev(1953125,512)%T*res[0]%T+512LL*rev(512,1953125)%T*res[1]%T)%T; while(ans*10<T)putchar('0'),T/=10; return printf("%lld",ans),0; }