Potyczki Algorytmiczne 2019
Runda próbna：
A + B
设$f[i]$表示两数相加得到前$i$位的方案数，由$f[i-1]$和$f[i-2]$转移得到。
#include<cstdio>
#include<cstring>
typedef long long ll;
const int N=50;
int n,i,j,k,a[N],b[N][N];ll f[N];char s[N];
int main(){
for(i=0;i<10;i++)for(j=0;j<10;j++){
k=i+j;
if(k<10)a[k]++;
else b[k/10][k%10]++;
}
scanf("%s",s+1);
n=strlen(s+1);
for(i=1;i<=n;i++)s[i]-='0';
f[0]=1;
for(i=0;i<=n;i++){
f[i+1]+=f[i]*a[s[i+1]];
f[i+2]+=f[i]*b[s[i+1]][s[i+2]];
}
printf("%lld",f[n]);
}
Runda 1：
Wina [B]
求出为了拿走每个数至少需要拿走几个数即可。
#include<cstdio>
const int N=2010;
int n,k,i,j,a[N][N],f[N][N],ans=~0U>>1;
int main(){
scanf("%d%d",&n,&k);
for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=i;j++)scanf("%d",&a[i][j]),f[i][j]=1;
for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=i;j++){
f[i][j]+=f[i-1][j-1]+f[i-1][j];
if(i>=2)f[i][j]-=f[i-2][j-1];
if(f[i][j]<=k&&a[i][j]<ans)ans=a[i][j];
}
printf("%d",ans);
}
Muzyka pop [A]
数位DP，设$f[i][j][l][r]$表示已经考虑了二进制下最高$i$位，是否卡住上界为$j$，要在里面找数字分配给$a[l..r]$的最大得分，枚举分界线转移。
时间复杂度$O(n^3\log m)$。
#include<cstdio>
typedef long long ll;
const int N=67,M=205;
const ll inf=3000000000000000000LL;
int n,len,i,b[N];ll m,a[M],s[M],f[N][2][M][M];bool v[N][2][M][M];
inline void up(ll&a,ll b){a<b?(a=b):0;}
ll dfs(int x,int y,int l,int r){
if(l>r)return 0;
if(!x)return l==r?0:-inf;
if(v[x][y][l][r])return f[x][y][l][r];
v[x][y][l][r]=1;
ll tmp=-inf;
int ny=y;
if(y==1&&b[x]==1)ny=0;
up(tmp,dfs(x-1,ny,l,r));
if(y==0||b[x]==1)for(int i=l;i<=r;i++)up(tmp,dfs(x-1,ny,l,i-1)+dfs(x-1,y,i,r)+s[r]-s[i-1]);
return f[x][y][l][r]=tmp;
}
int main(){
scanf("%d%lld",&n,&m);
if(!m)return puts("0"),0;
while(m)b[++len]=m&1,m>>=1;
for(i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i]),s[i]=s[i-1]+a[i];
printf("%lld",dfs(len,1,1,n));
}
Runda 2：
Herbata [B]
对于每种温度$i$，统计初始状态和最终状态下有多少升温度为$i$的水。按照温度从高到低模拟，如果任意时刻能量差非负且最后能量守恒，则合法。
时间复杂度$O(n\log n)$。
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=100010;
int Case,n,i,j,tmp,l,a,b;ll e;
struct E{int x,y;E(){}E(int _x,int _y){x=_x,y=_y;}}f[N],g[N];
inline bool cmp(const E&a,const E&b){return a.x<b.x;}
inline bool solve(){
scanf("%d",&n);
for(i=1;i<=n;i++){
scanf("%d%d%d",&l,&a,&b);
f[i]=E(a,l);
g[i]=E(b,l);
}
sort(f+1,f+n+1,cmp);
sort(g+1,g+n+1,cmp);
for(i=j=1,e=0;i<=n;i++)while(f[i].y){
while(!g[j].y)j++;
tmp=min(f[i].y,g[j].y);
f[i].y-=tmp;
g[j].y-=tmp;
e+=1LL*tmp*(g[j].x-f[i].x);
if(e<0)return 0;
}
return !e;
}
int main(){
scanf("%d",&Case);
while(Case--)puts(solve()?"TAK":"NIE");
}
Desant [A]
动态规划，设$f[i][S]$表示考虑了前$i$个数，这些数的选择情况为$S$的最小逆序对数以及对应的方案数。
状态优化：假设$[i+1,n]$这些数从小到大排序后是___X___X____X_____X___的形式，那么X__1__1__1_1X和X1111_______X是没有区别的。利用位运算和基数排序等方法可以将转移做到$O(1)$。
对于一个$i$来说，其状态数在最坏情况下等价于将$n$划分为若干个数的和，使得这些数的乘积最大，因此总状态数不超过$O(n3^{\frac{n}{3}})$。
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=45,M=7000000,K=(1<<20)-1;
int n,i,j,l,r,a[N],cf,cg,ans[N];ll cnt[N],S,nxt,need;char tab[65537];
int c[K+8],q[M],p[M];
struct E{
ll S,v;
E(){}
E(ll _S,ll _v){S=_S,v=_v;}
}f[M],g[M];
inline bool cmp(const E&a,const E&b){return a.S<b.S;}
inline void up(int x,int a,ll b){
if(ans[x]<a)return;
if(ans[x]==a)cnt[x]+=b;
else ans[x]=a,cnt[x]=b;
}
inline void merge(){
int i,j;
cf=0;
for(i=0;i<=K;i++)c[i]=0;
for(i=1;i<=cg;i++)c[g[i].S&K]++;
for(i=1;i<=K;i++)c[i]+=c[i-1];
for(i=1;i<=cg;i++)q[c[g[i].S&K]--]=i;
for(i=0;i<=K;i++)c[i]=0;
for(i=1;i<=cg;i++)c[g[i].S>>20]++;
for(i=1;i<=K;i++)c[i]+=c[i-1];
for(i=cg;i;i--)p[c[g[q[i]].S>>20]--]=q[i];
for(i=1;i<=cg;i=j){
int a=M;ll b=0;
for(j=i;j<=cg&&g[p[i]].S==g[p[j]].S;j++){
if((g[p[j]].v&1023)<a)a=g[p[j]].v&1023,b=g[p[j]].v>>10;
else if((g[p[j]].v&1023)==a)b+=g[p[j]].v>>10;
}
f[++cf]=E(g[p[i]].S,b<<10|a);
}
cg=0;
}
inline int popcount(ll S){return tab[S&65535]+tab[S>>16&65535]+tab[S>>32];}
inline ll fix(ll S){
return S^(S&need)^(((1LL<<popcount(S&need))-1)<<l);
}
int main(){
for(i=0;i<65536;i++)tab[i]=__builtin_popcount(i);
scanf("%d",&n);
for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]),a[i]--;
f[cf=1]=E(0,1<<10);
for(i=1;i<=n;i++){
S=~0ULL>>1;
for(j=0;j<=a[i];j++)S^=1LL<<j;
nxt=0;
for(j=i+1;j<=n;j++)nxt|=1LL<<a[j];
for(l=a[i];~l;l--)if(nxt>>l&1)break;
for(r=a[i];r<n;r++)if(nxt>>r&1)break;
l++,r--;
need=0;
for(j=l;j<=r;j++)need|=1LL<<j;
for(j=1;j<=cf;j++){
g[++cg]=E(fix(f[j].S),f[j].v);
g[++cg]=E(fix(f[j].S|(1LL<<a[i])),f[j].v+popcount(S&f[j].S));
}
merge();
}
for(i=0;i<=n;i++)ans[i]=M;
for(i=1;i<=cf;i++)up(popcount(f[i].S),f[i].v&1023,f[i].v>>10);
for(i=1;i<=n;i++)printf("%d %lld\n",ans[i],cnt[i]);
}
Runda 3：
Terytoria [B]
两维独立，考虑一维的情况。
所有区间的交集等于总的减去所有区间的补的并集。将坐标离散化后，枚举一个必然不属于补的并集的位置，那么所有区间的方案都定了，线段树维护并集的大小即可。
时间复杂度$O(n\log n)$。
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=500010,M=2111111;
int n,m,_,X,Y,i,j,x,y,e[N][4],a[N],b[N],c[N<<1],ans;
int gl[N<<1],gr[N<<1],v[N<<1],nxt[N<<1],ed;
int cov[N<<1],mi[M],val[M],tag[M];
inline void add(int&x,int y){v[++ed]=y;nxt[ed]=x;x=ed;}
inline void tag1(int x,int p){mi[x]+=p;tag[x]+=p;}
inline void up(int x){
if(mi[x<<1]<mi[x<<1|1]){
mi[x]=mi[x<<1];
val[x]=val[x<<1];
}else if(mi[x<<1]>mi[x<<1|1]){
mi[x]=mi[x<<1|1];
val[x]=val[x<<1|1];
}else{
mi[x]=mi[x<<1];
val[x]=val[x<<1]+val[x<<1|1];
}
}
void build(int x,int a,int b){
tag[x]=0;
if(a==b){
mi[x]=cov[a];
val[x]=c[a+1]-c[a];
return;
}
int mid=(a+b)>>1;
build(x<<1,a,mid),build(x<<1|1,mid+1,b);
up(x);
}
void change(int x,int a,int b,int c,int d,int p){
if(c<=a&&b<=d){tag1(x,p);return;}
if(tag[x])tag1(x<<1,tag[x]),tag1(x<<1|1,tag[x]),tag[x]=0;
int mid=(a+b)>>1;
if(c<=mid)change(x<<1,a,mid,c,d,p);
if(d>mid)change(x<<1|1,mid+1,b,c,d,p);
up(x);
}
int solve(int all){
c[1]=0;
c[m=2]=all;
for(i=1;i<=n;i++)c[++m]=a[i],c[++m]=b[i];
sort(c+1,c+m+1);
for(_=0,i=1;i<=m;i++)if(i==1||c[i]>c[_])c[++_]=c[i];
m=_;
for(i=1;i<=m;i++)gl[i]=gr[i]=cov[i]=0;
ed=0;
for(i=1;i<=n;i++){
x=a[i],y=b[i];
if(x>y)swap(x,y);
x=lower_bound(c+1,c+m+1,x)-c;
y=lower_bound(c+1,c+m+1,y)-c;
a[i]=x;
b[i]=y;
add(gl[x],i);
add(gr[y],i);
cov[x]++;
cov[y]--;
}
for(i=1;i<=m;i++)cov[i]+=cov[i-1];
ans=0;
build(1,1,m-1);
for(i=1;i<m;i++){
for(j=gl[i];j;j=nxt[j]){
change(1,1,m-1,a[v[j]],b[v[j]]-1,-2);
change(1,1,m-1,1,m-1,1);
}
for(j=gr[i];j;j=nxt[j]){
change(1,1,m-1,a[v[j]],b[v[j]]-1,2);
change(1,1,m-1,1,m-1,-1);
}
if(!mi[1])ans=max(ans,val[1]);
}
return ans;
}
int main(){
scanf("%d%d%d",&n,&X,&Y);
for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d%d%d",&e[i][0],&e[i][1],&e[i][2],&e[i][3]);
for(i=1;i<=n;i++)a[i]=e[i][0],b[i]=e[i][2];
int ansx=solve(X);
for(i=1;i<=n;i++)a[i]=e[i][1],b[i]=e[i][3];
int ansy=solve(Y);
printf("%lld",1LL*ansx*ansy);
}
Iloczyny Fibonacciego [A]
令$f_2=1,f_3=2,f_i=f_{i-1}+f_{i-2}(i\geq 4),s_i=f_i+s_{i-4}$。
则对于$x\geq y\geq 2$：
- 如果$y$是偶数，那么$f_xf_y=s_{x+y-2}+f_{x-y+2}-s_{x-y+2}$。
- 如果$y$是奇数且$x\neq y$，那么$f_xf_y=s_{x+y-2}+f_{x-y+4}-s_{x-y+4}+f_{x-y+1}$。
- 如果$y$是奇数且$x=y$，那么$f_xf_y=s_{x+y-2}+f_{x-y+4}-s_{x-y+4}+f_{2}$。
首先处理掉$x=y$的贡献，容易发现剩下的贡献只和$y$的奇偶性以及$x-y$和$x+y$有关，构造多项式卷积利用NTT求出贡献即可。
那么剩下的问题就是将$\sum a_if_i$的$a$转化成合法的斐波那契表示。
分治，设$solve(l,r)$表示$\sum_{i=l}^r a_if_i$的斐波那契表示，如果将前导0和后缀0都去掉的话，那么它的长度不超过$O(r-l+\log n)$。
- 若$l<r$，取$mid=\lfloor\frac{l+r}{2}\rfloor$，则$solve(l,r)=solve(l,mid)+solve(mid+1,r)$，而斐波那契进制的加法可以在线性时间内完成。
- 若$l=r$，则可以利用$(f_{x-2}+f_{x})f_l=f(l-x)+f(l+x)$（$x$是偶数）将$a_l$拆成$O(\log n)$个互不相邻的$2$，然后用斐波那契进制的加法将其修正为合法的斐波那契表示；需要注意的是如果$l$太小以至$l-x$越界的话，这时$a_lf_l$的数值一定不大，可以暴力分解为斐波那契表示。
时间复杂度$T(n)=2T(\frac{n}{2})+O(n+\log n)=O(n\log n)$。
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<string>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,string>E;
const int N=2111111;
int Case,lenx,leny,n,i,x,k,a[N],b[N],A[N],B[N],C[N];ll f[N],s[N];E fin;
typedef unsigned int uint32;
typedef long long int64;
typedef unsigned long long uint64;
typedef uint32 word;
typedef uint64 dword;
typedef int sword;
const int word_bits=sizeof(word)*8;
word mod,Modinv,r2;
struct UnsafeMod{
word x;
UnsafeMod(): x(0) {}
UnsafeMod(word _x): x(init(_x)) {}
UnsafeMod& operator += (const UnsafeMod& rhs) {
(x += rhs.x) >= mod && (x -= mod);
return *this;
}
UnsafeMod& operator -= (const UnsafeMod& rhs) {
sword(x -= rhs.x) < 0 && (x += mod);
return *this;
}
UnsafeMod& operator *= (const UnsafeMod& rhs) {
x = reduce(dword(x) * rhs.x);
return *this;
}
UnsafeMod operator + (const UnsafeMod &rhs) const {
return UnsafeMod(*this) += rhs;
}
UnsafeMod operator - (const UnsafeMod &rhs) const {
return UnsafeMod(*this) -= rhs;
}
UnsafeMod operator * (const UnsafeMod &rhs) const {
return UnsafeMod(*this) *= rhs;
}
UnsafeMod pow(uint64 e) const {
UnsafeMod ret(1);
for (UnsafeMod base = *this; e; e >>= 1, base *= base) {
if (e & 1) ret *= base;
}
return ret;
}
word get() const {
return reduce(x);
}
static word modulus() {
return mod;
}
static word init(word w) {
return reduce(dword(w) * r2);
}
static void set_mod(word m) {
mod = m;
Modinv = mul_inv(mod);
r2 = -dword(mod) % mod;
}
static word reduce(dword x) {
word y = word(x >> word_bits) - word((dword(word(x) * Modinv) * mod) >> word_bits);
return sword(y) < 0 ? y + mod : y;
}
static word mul_inv(word n, int e = 6, word x = 1) {
return !e ? x : mul_inv(n, e - 1, x * (2 - x * n));
}
}pool[N];
namespace NTT{
const int N=1048576*2,K=20,P=998244353,G=3;
UnsafeMod A[N+10],B[N+10],C[N+10];
UnsafeMod g[K+1],ng[K+10],gw[N+10],ngw[N+10];
int pos[N+10],inv[N+10];
inline void doNTT(UnsafeMod*a,int n,int t){
for(int i=1;i<n;i++)if(i<pos[i])swap(a[i],a[pos[i]]);
for(int d=0;(1<<d)<n;d++){
int m=1<<d,m2=m<<1;
UnsafeMod*_w=t==1?gw:ngw;
_w+=m;
for(int i=0;i<n;i+=m2){
UnsafeMod*w=_w;
for(int j=i;j<m+i;j++,w++){
UnsafeMod t=*w*a[j+m];
a[j+m]=a[j]-t;
a[j]+=t;
}
}
}
if(t==-1){
UnsafeMod j=inv[n];
for(int i=0;i<n;i++)a[i]*=j;
}
};
void trans(int k,int*a,UnsafeMod*A){
int i;
for(i=0;i<k;i++)A[i]=a[i];
doNTT(A,k,1);
}
void mul(int k,int*a,UnsafeMod*B,int*c){
int i;
for(i=0;i<k;i++)A[i]=a[i];
doNTT(A,k,1);
for(i=0;i<k;i++)C[i]=A[i]*B[i];
doNTT(C,k,-1);
for(i=0;i<k;i++)c[i]=C[i].get();
}
void pre(){
int i,j;
UnsafeMod::set_mod(P);
for(g[K]=((UnsafeMod)G).pow((P-1)/N),ng[K]=g[K].pow(P-2),i=K-1;~i;i--)g[i]=g[i+1]*g[i+1],ng[i]=ng[i+1]*ng[i+1];
for(i=0;i<=K;i++){
gw[1<<i]=ngw[1<<i]=1;
for(j=1;j<1<<i;j++){
gw[(1<<i)+j]=gw[(1<<i)+j-1]*g[i];
ngw[(1<<i)+j]=ngw[(1<<i)+j-1]*ng[i];
}
}
for(inv[1]=1,i=2;i<=N;i++)inv[i]=1LL*(P-inv[P%i])*(P/i)%P;
}
void init(int k){
int i,j;
j=__builtin_ctz(k)-1;
for(i=0;i<k;i++)pos[i]=pos[i>>1]>>1|((i&1)<<j);
}
}
namespace FIB{
const int M=100;
int n=90,m,a[M];ll b[M],f[M];
int q[N],len,L;
void init(){
for(f[0]=f[1]=1,i=2;i<=n;i++)f[i]=f[i-1]+f[i-2];
for(i=2;i<=n;i+=2){
a[++m]=i;
b[m]=f[i-2]+f[i];
}
for(f[1]=f[2]=1,i=3;i<=n;i++)f[i]=f[i-1]+f[i-2];
}
inline void add(int x,int y){
x-=L;
while(len<=x)q[len++]=0;
q[x]+=y;
}
inline void up(int x){for(;q[x]&&q[x+1];x+=2)q[x]--,q[x+1]--,q[x+2]++;}
inline E fix(){
int i;
for(i=0;i<5;i++)q[len++]=0;
int t=min(L-1,5);
if(L-t==2)t++;
len+=t;
L-=t;
for(i=len-1;i>=t;i--)q[i]=q[i-t];
for(;~i;i--)q[i]=0;
for(i=len-1;i;i--){
if(q[i]==3)q[i]=0,q[i+2]++,up(i+2),q[i-2]++,up(i-3);
else if(q[i]==2){
if(q[i-1])q[i]=0,q[i-1]--,q[i+2]++,up(i+2);
else q[i]=0,q[i+1]++,up(i+1),q[i-2]++,up(i-3);
}else up(i-1);
}
if(L==1)q[1]+=q[0],q[0]=0;
while(!q[len-1])len--;
for(t=0;!q[t];t++,L++);
E ret(L,string(len-t,0));
for(i=t;i<len;i++)ret.second[i-t]=q[i];
return ret;
}
inline E single(int A,ll B){
if(!B)return E(0,"");
if(B==1)return E(A,string(1,1));
int x=m,i;
while(x&&b[x]>B)x--;
if(A-a[x]<2){
B*=f[A];
L=2;
len=0;
for(x=n;x>=2;x--)if(B>=f[x])add(x,1),B-=f[x];
E ret(L,string(len,0));
for(i=0;i<len;i++)ret.second[i]=q[i];
return ret;
}
L=A-a[x];
len=0;
for(;x;x--)while(B>=b[x]){
add(A-a[x],1);
add(A+a[x],1);
B-=b[x];
}
add(A,B);
return fix();
}
inline E merge(const E&A,const E&B){
if(!A.first)return B;
if(!B.first)return A;
L=min(A.first,B.first);
len=0;
for(int i=0;i<A.second.size();i++)add(A.first+i,A.second[i]);
for(int i=0;i<B.second.size();i++)add(B.first+i,B.second[i]);
return fix();
}
}
void read(int&len,int*a){
scanf("%d",&len);
len++;
a[1]=0;
for(int i=2;i<=len;i++)scanf("%d",&a[i]);
}
E solve(int l,int r){
if(l==r)return FIB::single(l,f[l]);
int mid=(l+r)>>1;
return FIB::merge(solve(l,mid),solve(mid+1,r));
}
int main(){
NTT::pre();
FIB::init();
scanf("%d",&Case);
while(Case--){
read(lenx,a);
read(leny,b);
for(k=1;k<=lenx+leny;k<<=1);
NTT::init(k);
for(i=0;i<k;i++)A[i]=B[i]=f[i]=s[i]=0;
for(i=2;i<=lenx;i++)A[i]=a[i];
for(i=2;i<=leny;i++)B[i]=b[i];
NTT::trans(k,A,pool);
NTT::mul(k,B,pool,C);
for(i=2;i<k;i++)s[i-2]+=C[i];
for(i=3;i<=lenx&&i<=leny;i+=2)if(a[i]&&b[i])f[2]++;
for(i=0;i<k;i++)A[i]=B[i]=0;
for(i=2;i<=lenx;i+=2)A[i]=a[i];
for(i=2;i<=leny;i++)B[leny-i]=b[i];
NTT::trans(k,B,pool);
NTT::mul(k,A,pool,C);
for(i=0;i<k;i++)if(C[i]&&i<leny){
x=leny-i;
f[x+2]+=C[i];
s[x+2]-=C[i];
}
for(i=0;i<k;i++)A[i]=0;
for(i=3;i<=lenx;i+=2)A[i]=a[i];
NTT::mul(k,A,pool,C);
for(i=0;i<k;i++)if(C[i]&&i<leny){
x=leny-i;
f[x+4]+=C[i];
s[x+4]-=C[i];
f[x+1]+=C[i];
}
for(i=0;i<k;i++)A[i]=B[i]=0;
for(i=2;i<=lenx;i++)A[i]=a[i];
for(i=2;i<=leny;i+=2)B[leny-i]=b[i];
NTT::trans(k,A,pool);
NTT::mul(k,B,pool,C);
for(i=0;i<k;i++)if(C[i]&&i>leny){
x=i-leny;
f[x+2]+=C[i];
s[x+2]-=C[i];
}
for(i=0;i<k;i++)B[i]=0;
for(i=3;i<=leny;i+=2)B[leny-i]=b[i];
NTT::mul(k,B,pool,C);
for(i=0;i<k;i++)if(C[i]&&i>leny){
x=i-leny;
f[x+4]+=C[i];
s[x+4]-=C[i];
f[x+1]+=C[i];
}
for(i=k-1;i>=4;i--)s[i-4]+=s[i];
for(i=0;i<k;i++)f[i]+=s[i];
n=k-1;
while(!f[n])n--;
fin=solve(2,n);
printf("%d",fin.first+fin.second.size()-2);
for(i=2;i<fin.first;i++)printf(" 0");
for(i=0;i<fin.second.size();i++)printf(" %d",(int)fin.second[i]);
puts("");
}
}
Runda 4：
Szprotki i szczupaki [B]
显然最优策略是每次吃能吃的最大的数。
离散化后建立权值线段树，对于每个询问暴力模拟，每次在线段树上二分找出一段要吃掉的后缀，使得吃掉它们之后可以解锁下一个数或者达到最终目标。容易发现每次解锁都会使得我方的重量翻倍，因此最多只有$O(\log w)$次迭代。
因为每个询问独立，因此需要在每次清空一个区间后将其保存下来，方便询问结束后还原。
时间复杂度$O(q\log n\log w)$。
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=400010,M=1111111;
const ll inf=1LL<<60;
int n,m,q,i,x,ce,have[N];
ll a[N],e[N],op[N][3];
int POS,vis[M];ll cnt[M],sum[M];
int C;ll NXT,SUM,CNT;
int pool[M],cp;
ll sc[M],ss[M];
inline void up(int x){
cnt[x]=cnt[x<<1]+cnt[x<<1|1];
sum[x]=sum[x<<1]+sum[x<<1|1];
}
void build(int x,int a,int b){
if(a==b){
cnt[x]=have[a];
sum[x]=cnt[x]*e[a];
return;
}
int mid=(a+b)>>1;
build(x<<1,a,mid),build(x<<1|1,mid+1,b);
up(x);
}
void change(int x,int a,int b,int c,ll A,ll B){
sum[x]+=A;
cnt[x]+=B;
if(a==b)return;
int mid=(a+b)>>1;
if(c<=mid)change(x<<1,a,mid,c,A,B);else change(x<<1|1,mid+1,b,c,A,B);
}
void getnxt(int x,int a,int b){
if(NXT)return;
if(!cnt[x])return;
if(a==b){
NXT=e[a];
return;
}
int mid=(a+b)>>1;
if(C<=mid)getnxt(x<<1,a,mid);
getnxt(x<<1|1,mid+1,b);
}
void eat(int x,int a,int b){
if(vis[x]<POS){
vis[x]=POS;
pool[++cp]=x;
sc[x]=cnt[x];
ss[x]=sum[x];
}
if(SUM>NXT)return;
if(!cnt[x])return;
if(b<=C){
if(SUM+sum[x]<=NXT){
SUM+=sum[x];
CNT+=cnt[x];
cnt[x]=sum[x]=0;
return;
}
if(a==b){
ll tmp=(NXT-SUM)/e[a];
while(tmp*e[a]+SUM<=NXT)tmp++;
ll val=tmp*e[a];
cnt[x]-=tmp,sum[x]-=val;
SUM+=val;
CNT+=tmp;
return;
}
}
int mid=(a+b)>>1;
if(C>mid)eat(x<<1|1,mid+1,b);
eat(x<<1,a,mid);
up(x);
}
inline int lower(ll x){
int l=1,r=m,t,mid;
while(l<=r)if(e[mid=(l+r)>>1]>=x)r=(t=mid)-1;else l=mid+1;
return t;
}
inline int query(ll A,ll B){
int ans=0;
cp=0;
while(A<B){
C=lower(A);
NXT=0;
getnxt(1,1,m);
NXT=min(NXT,B-1);
C--;
SUM=A;
CNT=0;
eat(1,1,m);
if(SUM<=NXT)return -1;
A=SUM;
ans+=CNT;
}
return ans;
}
int main(){
scanf("%d",&n);
e[ce=1]=0;
for(i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i]),e[++ce]=a[i];
scanf("%d",&q);
for(i=1;i<=q;i++){
scanf("%lld%lld",&op[i][0],&op[i][1]);
if(op[i][0]==1)scanf("%lld",&op[i][2]);
if(op[i][0]==2)e[++ce]=op[i][1];
}
sort(e+1,e+ce+1);
for(i=1;i<=ce;i++)if(i==1||e[i]>e[m])e[++m]=e[i];
e[++m]=inf;
have[m]=1;
for(i=1;i<=n;i++)have[lower_bound(e+1,e+m+1,a[i])-e]++;
build(1,1,m);
for(i=1;i<=q;i++){
POS++;
if(op[i][0]==1){
printf("%d\n",query(op[i][1],op[i][2]));
while(cp){
x=pool[cp--];
cnt[x]=sc[x];
sum[x]=ss[x];
}
}
if(op[i][0]==2)change(1,1,m,lower_bound(e+1,e+m+1,op[i][1])-e,op[i][1],1);
if(op[i][0]==3)change(1,1,m,lower_bound(e+1,e+m+1,op[i][1])-e,-op[i][1],-1);
}
}
Wyspa [A]
首先将不能被任何一个湖边点到达的海边点删除。因为是平面图，所以每个湖边点能到达的海边点都是环上一个区间，也就是序列上不超过两个区间，可以缩SCC后在$O(n\log n)$的时间内递推求出这个范围。
那么问题转化为给定环上一些区间，求选点的方案数使得每个区间内至少选了一个点。
如果区间$A$包含$B$，那么满足$B$一定可以满足$A$，可以将$A$删除。同时我们可以离散化区间的左右端点使得点数和区间数同阶。通过旋转一个区间到$[1,len]$，我们可以发现从左往右选的第一个点一定在$[1,len]$范围内，枚举第一个选的点，那么跨过$1$和$n$的区间都可以视作序列上的正常区间，达到破环成链的目的。
动态规划，设$f_i$表示考虑了前$i$个点，$i$点必选的方案数，则$f_i=\sum f_j$，其中$[j+1,i-1]$不能含有完整的区间，令$g_i$表示右端点不超过$i$的区间中左端点的最大值，则$j\geq g_{i-1}$，可以利用前缀和$O(1)$转移。
如果将最短的区间旋转到$[1,len]$的话，则时间复杂度为$O(\min(len)\times cnt)$，其中$cnt$为区间数，因为平面图的限制这个乘积是$O(n)$级别的。
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=500010,M=2000010,P=1000000007;
int n,m,ca,cb,cnt,i,j,k,x,y,scc,base=1;
bool vis[N];
int ed,g[N],v[M],nxt[M],G[N],V[M],NXT[M];
int id[N],at[N],q[N],t;
int pool[N],st[N],en[N],cp,last[N];
int ce;
struct Info{int a,b,c,d;}f[N];
struct E{int l,r;E(){}E(int _l,int _r){l=_l,r=_r;}}e[N<<1];
inline bool cmp(const E&a,const E&b){return a.l<b.l;}
inline void read(int&a){char c;while(!(((c=getchar())>='0')&&(c<='9')));a=c-'0';while(((c=getchar())>='0')&&(c<='9'))(a*=10)+=c-'0';}
inline void readch(char&a){while(!(((a=getchar())=='-')||(a=='>')));}
inline void umin(int&a,int b){a>b?(a=b):0;}
inline void umax(int&a,int b){a<b?(a=b):0;}
inline void add(int x,int y){
v[++ed]=y;nxt[ed]=g[x];g[x]=ed;
V[ed]=x;NXT[ed]=G[y];G[y]=ed;
}
void dfs(int x){
if(vis[x])return;
vis[x]=1;
for(int i=g[x];i;i=nxt[i])dfs(v[i]);
}
void dfs1(int x){
if(vis[x])return;
vis[x]=1;
for(int i=g[x];i;i=nxt[i])dfs1(v[i]);
q[++t]=x;
}
void dfs2(int x){
if(!vis[x])return;
vis[x]=0;
at[x]=scc;
pool[++cp]=x;
for(int i=G[x];i;i=NXT[i])dfs2(V[i]);
}
inline void ext(int o,int x,int y){
if(!x)return;
if(!f[o].a)f[o].a=x,f[o].b=y;
else if(!f[o].c)f[o].c=x,f[o].d=y;
else puts("GG");
}
namespace COUNTING{
typedef unsigned int uint32;
typedef long long int64;
typedef unsigned long long uint64;
typedef uint32 word;
typedef uint64 dword;
typedef int sword;
const int word_bits=sizeof(word)*8;
word mod,Modinv,r2;
struct UnsafeMod{
word x;
UnsafeMod(): x(0) {}
UnsafeMod(word _x): x(init(_x)) {}
UnsafeMod& operator += (const UnsafeMod& rhs) {
(x += rhs.x) >= mod && (x -= mod);
return *this;
}
UnsafeMod& operator -= (const UnsafeMod& rhs) {
sword(x -= rhs.x) < 0 && (x += mod);
return *this;
}
UnsafeMod& operator *= (const UnsafeMod& rhs) {
x = reduce(dword(x) * rhs.x);
return *this;
}
UnsafeMod operator + (const UnsafeMod &rhs) const {
return UnsafeMod(*this) += rhs;
}
UnsafeMod operator - (const UnsafeMod &rhs) const {
return UnsafeMod(*this) -= rhs;
}
UnsafeMod operator * (const UnsafeMod &rhs) const {
return UnsafeMod(*this) *= rhs;
}
UnsafeMod pow(uint64 e) const {
UnsafeMod ret(1);
for (UnsafeMod base = *this; e; e >>= 1, base *= base) {
if (e & 1) ret *= base;
}
return ret;
}
word get() const {
return reduce(x);
}
static word modulus() {
return mod;
}
static word init(word w) {
return reduce(dword(w) * r2);
}
static void set_mod(word m) {
mod = m;
Modinv = mul_inv(mod);
r2 = -dword(mod) % mod;
}
static word reduce(dword x) {
word y = word(x >> word_bits) - word((dword(word(x) * Modinv) * mod) >> word_bits);
return sword(y) < 0 ? y + mod : y;
}
static word mul_inv(word n, int e = 6, word x = 1) {
return !e ? x : mul_inv(n, e - 1, x * (2 - x * n));
}
}dp[N],v[N],ans;
int n,m,_,ca,i,j,k,x,y,e[N][2],is[N],a[N];
int p[N],val[N];
int minlen,S,now,en;
int g[N],q[N][2],h,t;
int f[N<<1],lim[N];
inline void init(int A,int B,int C,int D){
if(!C){
e[++m][0]=A;
e[m][1]=B;
umax(f[B],A);
umax(f[B+n],A+n);
}else{
e[++m][0]=C;
e[m][1]=B;
umax(f[B+n],C);
}
}
inline void add(int l,int r){
if(l<=r){
if(f[r]>l)return;
is[l-1]=is[r]=1;
}else{
if(f[r+n]>l)return;
is[l-1]=is[r]=is[n]=1;
}
e[++_][0]=l;
e[_][1]=r;
}
inline void ins(int x,int y){
if(h<=t&&q[t][1]>=y)return;
q[++t][0]=x;
q[t][1]=y;
}
inline int askmin(int x){
while(h<=t&&q[h][1]<=x)h++;
if(h>t)return n;
return q[h][0];
}
inline void cal(int lim,int n){
for(int i=1;i<=n;i++){
dp[i]=dp[i-1];
if(f[i-1])dp[i]-=dp[f[i-1]-1];
if(i<=lim)dp[i]+=1;
dp[i]=dp[i]*v[i]+dp[i-1];
}
}
int solve(){
UnsafeMod::set_mod(P);
for(i=1;i<=n+n;i++)umax(f[i],f[i-1]);
for(i=1;i<=m;i++)add(e[i][0],e[i][1]);
m=_;
for(p[0]=i=1;i<=n;i++)p[i]=p[i-1]*2%P;
for(i=0;i<=n;i++)p[i]--;
is[n]=1;
for(i=1;i<=n;i++)if(is[i])a[is[i]=++ca]=i;
for(i=n;i;i--)if(!is[i])is[i]=is[i+1];
n=ca;
for(i=1;i<=n;i++)val[i]=p[a[i]-a[i-1]];
minlen=n,S=1;
for(i=1;i<=m;i++){
x=is[e[i][0]],y=is[e[i][1]];
if(x<=y)now=y-x+1;else now=y-x+1+n;
if(now<=minlen)minlen=now,S=x;
}
for(i=1,j=S;i<=n;i++){
v[i]=val[j];
j++;
if(j>n)j=1;
}
en=n;
for(i=0;i<=n+1;i++)f[i]=0;
for(i=1;i<=m;i++){
x=is[e[i][0]],y=is[e[i][1]];
if(y<x)y+=n;
y=y-x;
while(1){
if(S<=x&&x<S+n)break;
x+=n;
}
x-=S-1;
if(y==n-1)x=1,y=n;else y+=x;
if(y>n)y-=n;
if(x<=y){
umax(f[y],x);
umin(en,y);
}else{
umax(g[y+1],x);
}
}
for(i=1;i<=n;i++)umax(f[i],f[i-1]);
h=1,t=0;
for(i=1;i<=n;i++){
now=en;
if(g[i])ins(i-1,g[i]);
umin(now,askmin(i));
lim[i]=now;
}
for(i=max(f[n],1);i<=n;i=j){
for(j=i;j<=n&&lim[i]==lim[j];j++);
cal(lim[i],j-1);
ans+=dp[j-1]-dp[i-1];
}
return ans.get();
}
}
int main(){
read(n);read(m);read(ca);read(cb);
while(m--){
char ch;
read(x);
readch(ch);
readch(ch);
read(y);
add(x,y);
if(ch=='-')add(y,x);
}
for(i=1;i<=ca;i++)dfs(i);
for(i=ca+1;i<=ca+cb;i++)if(vis[i])id[i]=++cnt;else base=base*2%P;
for(i=1;i<=n;i++)vis[i]=0;
for(i=1;i<=n;i++)if(!vis[i])dfs1(i);
for(i=t;i;i--)if(vis[q[i]]){
scc++;
st[scc]=cp+1;
dfs2(q[i]);
en[scc]=cp;
}
for(i=scc;i;i--){
ce=0;
for(j=st[i];j<=en[i];j++){
x=pool[j];
if(id[x])e[++ce]=E(id[x],id[x]);
for(k=g[x];k;k=nxt[k]){
y=at[v[k]];
if(y==i)continue;
if(last[y]==i)continue;
last[y]=i;
if(f[y].a)e[++ce]=E(f[y].a,f[y].b);
if(f[y].c)e[++ce]=E(f[y].c,f[y].d);
}
}
if(!ce)continue;
sort(e+1,e+ce+1,cmp);
x=0,y=-1;
for(j=1;j<=ce;j++){
if(e[j].l>y+1){
ext(i,x,y);
x=e[j].l;
}
umax(y,e[j].r);
}
ext(i,x,y);
}
COUNTING::n=cnt;
for(i=1;i<=ca;i++){
x=at[i];
if(f[x].a){
COUNTING::init(f[x].a,f[x].b,f[x].c,f[x].d);
f[x].a=0;
}
}
base=1LL*base*COUNTING::solve()%P;
printf("%d",base);
}
Runda 5：
Trzy kule [B]
答案为必然满足一个条件的方案数$-$必然满足两个条件的方案数$+$必然满足三个条件的方案数。
一个和两个的情况比较简单，可以枚举相同的位数利用组合数在$O(n)$时间内得到答案。
对于三个的情况，不妨令第一个串为全0，那么对于每一位，一共有4种情况：000，001，010，011。
令这四种情况的数量分别为$A,B,C,D$，这些位在要求的串中为1的数量分别为$a,b,c,d$，则有：
- $a+b+c+d\leq r_1$
- $a+b+C-c+D-d\leq r_2$
- $a+B-b+c+D-d\leq r_3$
即
- $c+d\leq r_1-a-b$
- $c+d\geq a+b+C-r_2+D$
- $c-d\leq r_3-a-B+b-D$
枚举$a$和$b$后，则对应的$c$和$d$是关于$c+d$和$c-d$的二维数点，二维前缀和即可。
时间复杂度$O(n^2)$。
#include<cstdio>
const int N=10005,P=1000000007;
typedef unsigned int uint32;
typedef long long int64;
typedef unsigned long long uint64;
typedef uint32 word;
typedef uint64 dword;
typedef int sword;
const int word_bits=sizeof(word)*8;
word mod,Modinv,r2;
struct UnsafeMod{
word x;
UnsafeMod(): x(0) {}
UnsafeMod(word _x): x(init(_x)) {}
UnsafeMod& operator += (const UnsafeMod& rhs) {
(x += rhs.x) >= mod && (x -= mod);
return *this;
}
UnsafeMod& operator -= (const UnsafeMod& rhs) {
sword(x -= rhs.x) < 0 && (x += mod);
return *this;
}
UnsafeMod& operator *= (const UnsafeMod& rhs) {
x = reduce(dword(x) * rhs.x);
return *this;
}
UnsafeMod operator + (const UnsafeMod &rhs) const {
return UnsafeMod(*this) += rhs;
}
UnsafeMod operator - (const UnsafeMod &rhs) const {
return UnsafeMod(*this) -= rhs;
}
UnsafeMod operator * (const UnsafeMod &rhs) const {
return UnsafeMod(*this) *= rhs;
}
UnsafeMod pow(uint64 e) const {
UnsafeMod ret(1);
for (UnsafeMod base = *this; e; e >>= 1, base *= base) {
if (e & 1) ret *= base;
}
return ret;
}
word get() const {
return reduce(x);
}
static word modulus() {
return mod;
}
static word init(word w) {
return reduce(dword(w) * r2);
}
static void set_mod(word m) {
mod = m;
Modinv = mul_inv(mod);
r2 = -dword(mod) % mod;
}
static word reduce(dword x) {
word y = word(x >> word_bits) - word((dword(word(x) * Modinv) * mod) >> word_bits);
return sword(y) < 0 ? y + mod : y;
}
static word mul_inv(word n, int e = 6, word x = 1) {
return !e ? x : mul_inv(n, e - 1, x * (2 - x * n));
}
}ans,f[N],g[N],s[N][N];
int n,i,lim[3],fac[N],inv[N];char a[3][N];
inline UnsafeMod getC(int n,int m){
if(n<m)return 0;
UnsafeMod ret=fac[n];
ret*=inv[m];
return ret*inv[n-m];
}
void pre(int n,UnsafeMod*f){for(int i=0;i<N;i++)f[i]=getC(n,i);}
UnsafeMod one(int x){
UnsafeMod ret=0;
for(int i=0;i<=lim[x];i++)ret+=getC(n,i);
return ret;
}
UnsafeMod two(int x,int y){
UnsafeMod ret=0;
int cnt=0,i,j;
for(i=0;i<n;i++)if(a[x][i]==a[y][i])cnt++;
pre(cnt,f);
pre(n-cnt,g);
for(i=0;i<=cnt;i++)for(j=0;j<=n-cnt;j++){
if(i+j>lim[x])break;
if(i+n-cnt-j>lim[y])continue;
ret+=f[i]*g[j];
}
return ret;
}
UnsafeMod three(){
UnsafeMod ret=0;
int i,j,A=0,B=0,C=0,D=0,ra=lim[0],rb=lim[1],rc=lim[2];
for(i=0;i<n;i++){
int x=a[0][i]-'0',y=a[1][i]-'0',z=a[2][i]-'0';
y^=x,z^=x;
if(y==0&&z==0)A++;
if(y==0&&z==1)B++;
if(y==1&&z==0)C++;
if(y==1&&z==1)D++;
}
pre(C,f),pre(D,g);
for(i=0;i<=C;i++)for(j=0;j<=D;j++)s[i+j][i-j+D]+=f[i]*g[j];
int m=C+D;
for(i=0;i<=m;i++)for(j=0;j<=m;j++){
if(i)s[i][j]+=s[i-1][j];
if(j)s[i][j]+=s[i][j-1];
if(i&&j)s[i][j]-=s[i-1][j-1];
}
pre(A,f),pre(B,g);
for(i=0;i<=A;i++)for(j=0;j<=B&&i+j<=ra;j++){
int l=i+j+C+D-rb;
int r=ra-i-j;
if(l<0)l=0;
if(r>m)r=m;
if(l>r)continue;
int k=rc-i+j-B;
if(k<0)continue;
if(k>m)k=m;
UnsafeMod tmp=s[r][k];
if(l)tmp-=s[l-1][k];
ret+=tmp*f[i]*g[j];
}
return ret;
}
int main(){
UnsafeMod::set_mod(P);
scanf("%d",&n);
for(i=0;i<3;i++)scanf("%d%s",&lim[i],a[i]);
for(fac[0]=i=1;i<=n;i++)fac[i]=1LL*fac[i-1]*i%P;
for(inv[0]=inv[1]=1,i=2;i<=n;i++)inv[i]=1LL*(P-inv[P%i])*(P/i)%P;
for(i=2;i<=n;i++)inv[i]=1LL*inv[i-1]*inv[i]%P;
ans=one(0)+one(1)+one(2)-two(0,1)-two(0,2)-two(1,2)+three();
printf("%u",ans.get());
}
Osady i warownie 2 [B]
考虑两种最极端的从左上角到右下角的路径：尽量优先往右走，不能走时再往下走的路径和尽量优先往下走，不能走时再往右走的路径。如果两条路径的边界接触到了对方，那么不存在合法的路径，否则存在。如下图黄线和蓝线所示：
线段树维护这两条路径，对于每个障碍$(r,c)$：
- 如果$(r,c)$是起点或者终点，那么显然。
- 否则如果它严格在黄线之上或者严格在蓝线之下，那么可以忽略。
- 否则如果它同时接触到了黄线和蓝线，那么它会将黄线和蓝线连通，使得起点和终点不连通。
- 否则如果它既没有接触到黄线，也没有接触到蓝线，那么将其放在池子里，暂时不会影响结果。
- 否则如果它接触到了蓝线或者黄线，那么它的加入会导致蓝线或者黄线的扩张，在不断迭代扩张的过程中从池子里找出和线接触的障碍，用其继续扩张线。在这里可以对于每一行和每一列用std::set存储有哪些待定障碍。
时间复杂度$O(k\log n)$。
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<set>
using namespace std;
const int N=100010,M=262150;
int n,m,_,x,y,z,last,pos[N],mi[M],ma[M];
int q[5555555][2],h,t;
set<int>row[N],col[N];
inline void read(int&a){char c;while(!(((c=getchar())>='0')&&(c<='9')));a=c-'0';while(((c=getchar())>='0')&&(c<='9'))(a*=10)+=c-'0';}
inline void umin(int&a,int b){a>b?(a=b):0;}
inline void umax(int&a,int b){a<b?(a=b):0;}
void build(int x,int a,int b){
if(a==b){
pos[a]=x;
mi[x]=n+1;
ma[x]=0;
if(a==0)mi[x]=0;
if(a==m+1)ma[x]=n+1;
return;
}
int mid=(a+b)>>1;
build(x<<1,a,mid),build(x<<1|1,mid+1,b);
mi[x]=min(mi[x<<1],mi[x<<1|1]);
ma[x]=max(ma[x<<1],ma[x<<1|1]);
}
int askmin(int x,int a,int b,int c,int d){
if(c<=a&&b<=d)return mi[x];
int mid=(a+b)>>1,t=N;
if(c<=mid)t=askmin(x<<1,a,mid,c,d);
if(d>mid)umin(t,askmin(x<<1|1,mid+1,b,c,d));
return t;
}
int askmax(int x,int a,int b,int c,int d){
if(c<=a&&b<=d)return ma[x];
int mid=(a+b)>>1,t=0;
if(c<=mid)t=askmax(x<<1,a,mid,c,d);
if(d>mid)umax(t,askmax(x<<1|1,mid+1,b,c,d));
return t;
}
inline void changemin(int x,int p){for(x=pos[x];x;x>>=1)umin(mi[x],p);}
inline void changemax(int x,int p){for(x=pos[x];x;x>>=1)umax(ma[x],p);}
inline int checkS(int y,int x){
int t=askmin(1,0,m+1,x,m+1);
if(t<=y)return -1;
if(t==y+1||askmin(1,0,m+1,x-1,m+1)<=y+1)return 0;
return 1;
}
inline int checkT(int y,int x){
int t=askmax(1,0,m+1,0,x);
if(t>=y)return -1;
if(t==y-1||askmax(1,0,m+1,0,x+1)>=y-1)return 0;
return 1;
}
inline void extS(int x,int y){
q[h=t=1][0]=x;
q[1][1]=y;
while(h<=t){
x=q[h][0];
y=q[h++][1];
changemin(y,x);
while(row[x-1].size()){
set<int>::iterator it=row[x-1].begin();
if((*it)<=y+1){
q[++t][0]=x-1;
q[t][1]=*it;
row[x-1].erase(*it);
}else break;
}
while(col[y+1].size()){
set<int>::reverse_iterator it=col[y+1].rbegin();
if((*it)>=x-1){
q[++t][0]=*it;
q[t][1]=y+1;
col[y+1].erase(*it);
}else break;
}
}
}
inline void extT(int x,int y){
q[h=t=1][0]=x;
q[1][1]=y;
while(h<=t){
x=q[h][0];
y=q[h++][1];
changemax(y,x);
while(row[x+1].size()){
set<int>::reverse_iterator it=row[x+1].rbegin();
if((*it)>=y-1){
q[++t][0]=x+1;
q[t][1]=*it;
row[x+1].erase(*it);
}else break;
}
while(col[y-1].size()){
set<int>::iterator it=col[y-1].begin();
if((*it)<=x+1){
q[++t][0]=*it;
q[t][1]=y-1;
col[y-1].erase(*it);
}else break;
}
}
}
inline bool merge(int x,int y){
x++,y++;
if(x==1&&y==1)return 1;
if(x==n&&y==m)return 1;
int A=checkS(x,y);
if(A<0)return 0;
int B=checkT(x,y);
if(B<0)return 0;
if(A==0&&B==0)return 1;
if(A==1&&B==1){
row[x].insert(y);
col[y].insert(x);
}
if(A==0)extS(x,y);
if(B==0)extT(x,y);
return 0;
}
int main(){
read(n),read(m),read(_);
build(1,0,m+1);
while(_--){
read(x),read(y),read(z);
x=(x^last)%n;
y=(y^last)%m;
if(merge(x,y))puts("TAK"),last^=z;else puts("NIE");
}
}
Podatki drogowe [A]
如果边权不大，那么可以二分答案，然后统计有多少条路径的长度不超过$mid$。
在二分答案之前对树进行点分治，在每个分治过程中将所有点到重心的距离从小到大排序，那么每次二分时只需要双指针统计方案数。
现在边权很大，可以用可持久线段树来维护高精度数，做到$O(\log n)$比较两个高精度数的大小，时间复杂度$O(n\log^3n)$。
最后一个问题是如何对高精度数进行二分。注意到答案只能是$a_i+a_j(1\leq i\leq j\leq cnt)$的形式，其中$a$是所有分治过程中点到重心的距离的集合的并。假设我们知道$l<ans<r$，那么我们可以通过双指针求出每个$a_i$和哪个范围的$a_j$相加在$(l,r)$之间，并统计处出这样的方案数$tot$。
- 如果$tot$不大，那么可以将它们全部暴力提取出来，在排序后的数组里二分，从而最小化二分轮数。
- 否则$tot$比较大，我们可以随机取一对这样的$(i,j)$，这不会导致期望二分轮数变大很多。
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef unsigned int U;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const int N=25010,CNT=500005,M=CNT*17,P=1000000007,LIM=150000;
int n,_,i,j,k,x,y,z;ll K;
int root[N],g[N],v[N<<1],w[N<<1],nxt[N<<1],ok[N<<1],ed,son[N],f[N],now,all;
int pool[CNT],cp,q[CNT<<1],cq,cnt,st[N<<1],en[N<<1],base[N<<1];
int pl[CNT],pr[CNT];
int tot,l[M],r[M],sum[M],val[M],p[N];ll sw[M],weight[N];
int LA,LB,RA,RB,MA,MB,ANSA,ANSB;
ll total;
U SX=335634763,SY=873658265,SZ=192849106,SW=746126501;
int ce;
struct E{int l,r;E(){}E(int _l,int _r){l=_l,r=_r;}}e[LIM+5];
inline ull xorshift128(){
U t=SX^(SX<<11);
SX=SY;
SY=SZ;
SZ=SW;
return SW=SW^(SW>>19)^t^(t>>8);
}
inline ull myrand(){return (xorshift128()<<32)^xorshift128();}
int ins(int x,int a,int b,int c){
int y=++tot;
val[y]=val[x]+1;
sum[y]=(sum[x]+p[c])%P;
sw[y]=sw[x]+weight[c];
if(a==b)return y;
int mid=(a+b)>>1;
if(c<=mid)l[y]=ins(l[x],a,mid,c),r[y]=r[x];
else l[y]=l[x],r[y]=ins(r[x],mid+1,b,c);
return y;
}
inline int compare(int A,int B,int C,int D){
if(sw[A]+sw[B]==sw[C]+sw[D])return 0;
int a=1,b=n,mid;
while(a<b){
mid=(a+b)>>1;
if(sw[r[A]]+sw[r[B]]==sw[r[C]]+sw[r[D]]){
b=mid;
A=l[A];
B=l[B];
C=l[C];
D=l[D];
}else{
a=mid+1;
A=r[A];
B=r[B];
C=r[C];
D=r[D];
}
}
return val[A]+val[B]<val[C]+val[D]?-1:1;
}
inline bool cmp(int x,int y){return compare(x,0,y,0)<0;}
inline bool cmpe(const E&a,const E&b){return compare(a.l,a.r,b.l,b.r)<0;}
inline void add(int x,int y,int z){v[++ed]=y;w[ed]=z;nxt[ed]=g[x];g[x]=ed;ok[ed]=1;}
void findroot(int x,int y){
son[x]=1;f[x]=0;
for(int i=g[x];i;i=nxt[i])if(ok[i]&&v[i]!=y){
findroot(v[i],x);
son[x]+=son[v[i]];
if(son[v[i]]>f[x])f[x]=son[v[i]];
}
if(all-son[x]>f[x])f[x]=all-son[x];
if(f[x]<f[now])now=x;
}
void dfs1(int x,int y,int z){
root[x]=z;
pool[++cp]=z;
for(int i=g[x];i;i=nxt[i])if(v[i]!=y&&ok[i])dfs1(v[i],x,ins(z,1,n,w[i]));
}
void dfs2(int x,int y){
q[++cq]=root[x];
for(int i=g[x];i;i=nxt[i])if(v[i]!=y&&ok[i])dfs2(v[i],x);
}
void solve(int x){
int i;
dfs1(x,0,0);
base[++cnt]=1;
st[cnt]=cq+1;
dfs2(x,0);
en[cnt]=cq;
if(en[cnt]==st[cnt])cnt--,cq--;
for(i=g[x];i;i=nxt[i])if(ok[i]){
base[++cnt]=-1;
st[cnt]=cq+1;
dfs2(v[i],x);
en[cnt]=cq;
if(en[cnt]==st[cnt])cnt--,cq--;
}
for(i=g[x];i;i=nxt[i])if(ok[i]){
ok[i^1]=0;
f[0]=all=son[v[i]];
findroot(v[i],now=0);
solve(now);
}
}
inline void dec(int l,int r){
int i,j;
for(i=l,j=r;i<=r;i++){
while(j>i&&compare(MA,MB,q[i],q[j])<0)j--;
if(j<=i)break;
total-=j-i;
}
}
inline void inc(int l,int r){
int i,j;
if(total>=K)return;
for(i=l,j=r;i<=r;i++){
while(j>i&&compare(MA,MB,q[i],q[j])<0)j--;
if(j<=i)break;
total+=j-i;
if(total>=K)return;
}
}
int main(){
scanf("%d%lld",&n,&K);
for(i=1;i<=n;i++)weight[i]=myrand();
for(p[0]=i=1;i<=n;i++)p[i]=1LL*p[i-1]*n%P;
for(ed=i=1;i<n;i++)scanf("%d%d%d",&x,&y,&z),add(x,y,z),add(y,x,z);
f[0]=all=n;findroot(1,now=0);solve(now);
sort(pool+1,pool+cp+1,cmp);
for(i=1;i<=cp;i++)if(i==1||cmp(pool[i-1],pool[i]))pool[++_]=pool[i];
cp=_;
for(i=1;i<=cnt;i++)sort(q+st[i],q+en[i]+1,cmp);
LA=LB=pool[1];
RA=RB=ANSA=ANSB=pool[cp];
while(1){
ll have=0;
for(i=1,j=cp+1,k=cp;i<=cp;i++){
while(j-1>i&&compare(LA,LB,pool[i],pool[j-1])<0)j--;
while(k>i&&compare(RA,RB,pool[i],pool[k])<=0)k--;
j=max(j,i+1);
pl[i]=j,pr[i]=k;
if(j>i&&j<=k)have+=k-j+1;
}
if(have<=LIM){
for(i=1;i<=cp;i++){
j=pl[i],k=pr[i];
if(j>i&&j<=k)for(x=j;x<=k;x++)e[++ce]=E(pool[i],pool[x]);
}
break;
}
have=myrand()%have+1;
for(i=1;i<=cp;i++){
j=pl[i],k=pr[i];
if(j>i&&j<=k){
if(k-j+1>=have){
MA=pool[i];
MB=pool[pl[i]+have-1];
break;
}
have-=k-j+1;
}
}
total=0;
for(i=1;i<=cnt;i++)if(base[i]==-1)dec(st[i],en[i]);
for(i=1;i<=cnt;i++)if(base[i]==1)inc(st[i],en[i]);
if(total>=K){
ANSA=MA;
ANSB=MB;
RA=MA;
RB=MB;
}else{
LA=MA;
LB=MB;
}
}
if(ce>1)sort(e+1,e+ce+1,cmpe);
int l=1,r=ce;
while(l<=r){
int mid=(l+r)>>1;
MA=e[mid].l;
MB=e[mid].r;
total=0;
for(i=1;i<=cnt;i++)if(base[i]==-1)dec(st[i],en[i]);
for(i=1;i<=cnt;i++)if(base[i]==1)inc(st[i],en[i]);
if(total>=K){
ANSA=MA;
ANSB=MB;
r=mid-1;
}else{
l=mid+1;
}
}
printf("%d",(sum[ANSA]+sum[ANSB])%P);
}
