[转载] 容斥原理

容斥原理

给定一个 \(n\) 个元素的集合 \(N\)，对于一个函数 \(f: 2^N \to R\)，以及子集和函数 \(f\zeta\)

\[f\zeta(S)=\sum_{T\subseteq S}f(T) \]

我们现在知道 \(f\zeta\)，想还原出 \(f\)，那么有以下公式

\[f(S)=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|S|-|T|}f\zeta(T) \]

证明：

\[\begin{aligned} &\textcolor{white}{=}\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|S|-|T|}f\zeta(T) \\ &=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|S|-|T|}\sum_{U\subseteq T}f(U) \\ &=\sum_{U\subseteq S}f(U)\sum_{U\subseteq T\subseteq S}(-1)^{|S|-|T|} \\ &=\sum_{U\subseteq S}f(U)[U = S] \\ &=f(S) \end{aligned} \]

如果把上面每个集合换成它的补集，那么可以得到另一种形式。

给定一个 \(n\) 个元素的集合 \(N\)，对于一个函数 \(f: 2^N \to R\)，以及超集和函数 \(\zeta f\)

\[\zeta f(S)=\sum_{S\subseteq T}f(T) \]

我们现在知道 \(\zeta f\)，想还原出 \(f\)，那么有以下公式

\[f(S)=\sum_{S\subseteq T}(-1)^{|T|-|S|}\zeta f(T) \]

实际应用通常是以下的场景：现在有一些对象 和 与它们相关的 \(n\) 个命题。根据每个命题是否为真，可以分为 \(2^n\) 类。

我们把 \(N\) 的每个元素和一个命题关联上，这样一个子集 \(S\) 就对应着一类对象。我们让 \(f(S)\) 统计这些对象。

一个对象只可能在一个集合中被统计。\(f(S)\) 统计的对象满足 \(S\) 集合里这些命题，而不满足其他所有命题。

我们能求的只有 \(f\zeta(S)\)：只知道 \(S\) 以外的命题为假，而不知道 \(S\) 中的命题的情况。

或者，我们能求的只有 \(\zeta f(S)\)：只知道 \(S\) 中命题为真，而不知道 \(S\) 以外的命题的情况。

这样我们就可以用容斥原理还原出 \(f(S)\)。

举个群里提到的例子：喜欢数学的有 \(x\) 人，喜欢英语的有 \(y\) 人，两者都喜欢的有 \(z\) 人。问喜欢数学或英语的有多少人。

这里统计的对象是人，命题是 喜欢数学 或 喜欢英语，\(f\{数学\}\) 表示只喜欢数学的人数，\(f\{英语\}\) 表示只喜欢英语的人数，\(f\{数学, 英语\}\) 表示喜欢数学也喜欢英语的人数，按照题意没有人两者都不喜欢，所以 \(f\{\}=0\)。

按照容斥原理，我们可以写出式子 \(f\{\} = \zeta f\{\} - \zeta f\{数学\} - \zeta f\{英语\} + \zeta f\{数学, 英语\}\)。即 \(0 = \zeta f\{\} - x - y + z\)，\(\zeta f\{\} = x + y - z\)。所有子集都是空集的超集，所以 \(\zeta f\{\}\) 统计了所有人，正是我们想要的答案。

再举个实际例子，从高维前缀和还原出 \(a_1, a_2, \dots, a_n\) 处的单点值。对象是所有点 \(x_1, x_2, \dots, x_n\)，其中 \(x_i \leq a_i\)。全集 \(N\) 的第 \(i\) 个元素对应命题 \(x_i = a_i\)，如果不满足，说明 \(x_i \leq a_i - 1\)。这样 \(f\zeta\) 的限制要么是 \(x_i \leq a_i - 1\)，要么没有特殊要求（即 \(x_i \leq a_i\)），直接套用容斥原理即可。

\(% 容斥原理可以说是子集格上的 Möbius 反演，背后有着一套通用理论。（大概吧）\)