3.矩阵和向量

1. 矩阵和向量

矩阵: 由数字组成的矩形阵列，并写在方括号内

矩阵的维数：行数 乘 列数

\(R^{3×2}\)

\(R_{11}\)

\(R_{32}\)

向量:只有一列的矩阵

\(y\)

\(y_1\)

\(y_2\)

\(R^4\)

一般用大写字母表示矩阵, 用小写字母表示向量

2. 加法和标量乘法

矩阵加法: 只有相同维度的矩阵才能相加

标量乘法: 这里的标量指的是一个实数

标量乘矩阵： 将矩阵中的元素逐个和标量相乘

3. 矩阵-向量乘法

矩阵的列数必须和向量的维数相同才能进行乘法运算，最后的结果是矩阵的行数 维向量

得到 yi ：让A的第i行元素分别乘以向量x中的元素，并且把结果相加起来

4. 矩阵-矩阵乘法

两个矩阵的维度必须相互匹配（一个矩阵的列数和另一个矩阵的行数相等）才能进行乘法运算

矩阵C的第i列：矩阵A乘矩阵B的第i列（1 <= i <= o）

5. 矩阵乘法特征

矩阵乘法不满足交换律

矩阵乘法满足结合律

单位矩阵（$$I \quad or \quad I_(n×n)$$）：

单位矩阵：沿对角线上都是1，其他地方都是0

在实数或标量中，1是一个乘法单位（单位操作），任何数乘1都等于任何数

任何矩阵乘单位矩阵都等于任何矩阵本身（单位矩阵的维度要确保正确，单位矩阵的维度一般隐含在上下文中）

6. 矩阵的逆和转置

矩阵的逆:

类比实数的倒数：除0之外的任意实数都有一个倒数，并且该实数与其倒数相乘等于1

矩阵的逆：

如果A是一个m×m矩阵, 并且它有逆, 记作\(A^{-1}\),

则 \(AA^{-1} = A^{-1}A = I_{m×m}\)

只有方阵才有逆矩阵

不存在逆矩阵的矩阵是“奇异矩阵”或“退化矩阵”

矩阵转置:

假设A是一个 m×n矩阵，B是A的转置，则B是一个n×m矩阵，并且

​ \(B_{ij} = A_{ji}\)