3.矩阵和向量
1. 矩阵和向量
矩阵: 由数字组成的矩形阵列,并写在方括号内
矩阵的维数:行数 乘 列数
R3×2
R11
R32
向量:只有一列的矩阵
y
y1
y2
R4
一般用大写字母表示矩阵, 用小写字母表示向量
2. 加法和标量乘法
矩阵加法: 只有相同维度的矩阵才能相加
标量乘法: 这里的标量指的是一个实数
标量乘矩阵: 将矩阵中的元素逐个和标量相乘
3. 矩阵-向量乘法
矩阵的列数必须和向量的维数相同才能进行乘法运算,最后的结果是矩阵的行数 维向量
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得到 yi :让A的第i行元素分别乘以向量x中的元素,并且把结果相加起来
4. 矩阵-矩阵乘法
两个矩阵的维度必须相互匹配(一个矩阵的列数和另一个矩阵的行数相等)才能进行乘法运算
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矩阵C的第i列:矩阵A乘矩阵B的第i列(1 <= i <= o)
5. 矩阵乘法特征
矩阵乘法不满足交换律
矩阵乘法满足结合律
单位矩阵(IorI(n×n)):
单位矩阵:沿对角线上都是1,其他地方都是0
在实数或标量中,1是一个乘法单位(单位操作),任何数乘1都等于任何数
任何矩阵乘单位矩阵都等于任何矩阵本身(单位矩阵的维度要确保正确,单位矩阵的维度一般隐含在上下文中)
6. 矩阵的逆和转置
矩阵的逆:
类比实数的倒数:除0之外的任意实数都有一个倒数,并且该实数与其倒数相乘等于1
矩阵的逆:
如果A是一个m×m矩阵, 并且它有逆, 记作A−1,
则 AA−1=A−1A=Im×m
只有方阵才有逆矩阵
不存在逆矩阵的矩阵是“奇异矩阵”或“退化矩阵”
矩阵转置:
假设A是一个 m×n矩阵,B是A的转置,则B是一个n×m矩阵,并且
Bij=Aji
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