贪心问题
贪心
1. 区间问题
1. 区间选点
题目链接: https://www.acwing.com/problem/content/description/907/
题目描述
给定 \(N\) 个闭区间 \([a_i,b_i]\)，请你在数轴上选择尽量少的点，使得每个区间内至少包含一个选出的点。
输出选择的点的最小数量。
位于区间端点上的点也算作区间内。
输入格式
第一行包含整数 \(N\)，表示区间数。
接下来 \(N\) 行，每行包含两个整数 \(a_i,b_i\)，表示一个区间的两个端点。
输出格式
输出一个整数，表示所需的点的最小数量。
数据范围
\(1≤N≤10^5,\)
\(−10^9≤a_i≤b_i≤10^9\)
样例
输入样例：
3
-1 1
2 4
3 5
输出样例：
2
参考文献
案例:
分析:
证明:
C++ 代码
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 100010;
int n;
// 定义结构体存储区间
struct Range{
int l, r;
// 重载小于符号
bool operator< (const Range &W) const{
return r < W.r;
}
}range[N];
int main()
{
scanf("%d", &n);
for (int i=0; i<n; i++)
{
int l, r;
scanf("%d%d", &l, &r);
range[i] = {l, r};
}
// 快速排序
sort(range, range+n);
// 贪心求解
// res存储选择的点的数量, ed存储上一个选择的点的值(一开始将ed初始化为负无穷)
int res=0, ed = -2e9;
// 从前向后遍历区间
for (int i=0; i<n; i++)
{
// 如果当前区间不包含上一个选择的点
// 选择当前区间的右端点
if (range[i].l > ed) {
res++;
ed = range[i].r;
}
}
printf("%d\n", res);
return 0;
}
2. 最大不相交区间数量
题目链接: https://www.acwing.com/problem/content/description/910/
题目描述
给定 \(N\) 个闭区间 \([a_i,b_i]\)，请你在数轴上选择若干区间，使得选中的区间之间互不相交（包括端点）。
输出可选取区间的最大数量。
输入格式
第一行包含整数 \(N\)，表示区间数。
接下来 \(N\) 行，每行包含两个整数 \(a_i,b_i\)，表示一个区间的两个端点。
输出格式
输出一个整数，表示可选取区间的最大数量。
数据范围
\(1≤N≤10^5,\)
\(−10^9≤a_i≤b_i≤10^9\)
样例
输入样例：
3
-1 1
2 4
3 5
输出样例：
2
参考文献
C++ 代码
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 100010;
int n;
struct Range{
int l, r;
// 重载小于号
bool operator< (const Range &W) const{
return r < W.r;
}
}range[N];
int main()
{
scanf("%d", &n);
for (int i=0; i<n; i++)
{
int l, r;
scanf("%d%d", &l, &r);
range[i] = {l, r};
}
// 快速排序
sort(range, range+n);
// 贪心求解
// res存储选择的点的数量, ed存储上一个选择的点的值(一开始将ed初始化为负无穷)
int res=0, ed = -2e9;
for (int i=0; i<n; i++)
{
if (ed < range[i].l)
{
res ++;
ed = range[i].r;
}
}
printf("%d\n", res);
return 0;
}
3. 区间分组
题目链接: https://www.acwing.com/problem/content/description/908/
题目描述
给定 \(N\) 个闭区间 \([a_i,b_i]\)，请你将这些区间分成若干组，使得每组内部的区间两两之间（包括端点）没有交集，并使得组数尽可能小。
输出最小组数。
输入格式
第一行包含整数 \(N\)，表示区间数。
接下来 \(N\) 行，每行包含两个整数 \(a_i,b_i\)，表示一个区间的两个端点。
输出格式
输出一个整数，表示最小组数。
数据范围
\(1≤N≤10^5,\)
\(−10^9≤a_i≤b_i≤10^9\)
样例
输入样例：
3
-1 1
2 4
3 5
输出样例：
2
参考文献
C++ 代码
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
const int N = 100010;
struct Range{
int l, r;
bool operator < (const Range &W) const{
return l<W.l;
}
}range[N];
int n;
int main()
{
scanf("%d", &n);
for (int i=0; i<n; i++)
{
int l, r;
scanf("%d%d", &l, &r);
range[i] = {l, r};
}
sort(range, range+n);
// 使用小根堆存储各组的最大右端点
priority_queue<int, vector<int>, greater<int> > heap;
for (int i=0; i<n; i++)
{
auto r = range[i];
// 如果小根堆为空(未创建组), 或者最小的右端点仍然比当前区间的左端点大
if (heap.empty() || heap.top() >= r.l)
{
// 创建新组
heap.push(r.r);
}else{
heap.pop();
heap.push(r.r);
}
}
printf("%d", heap.size());
return 0;
}
4. 区间覆盖
题目链接: https://www.acwing.com/problem/content/description/909/
题目描述
给定 \(N\) 个闭区间 \([a_i,b_i]\) 以及一个线段区间 \([s,t]\)，请你选择尽量少的区间，将指定线段区间完全覆盖。
输出最少区间数，如果无法完全覆盖则输出 \(−1\)。
输入格式
第一行包含两个整数 \(s\) 和 \(t\)，表示给定线段区间的两个端点。
第二行包含整数 \(N\)，表示给定区间数。
接下来 \(N\) 行，每行包含两个整数 \(a_i,b_i\)，表示一个区间的两个端点。
输出格式
输出一个整数，表示所需最少区间数。
如果无解，则输出 \(−1\)。
数据范围
\(1≤N≤10^5,\)
\(−10^9≤a_i≤b_i≤10^9,\)
\(−10^9≤s≤t≤10^9\)
样例
输入样例：
1 5
3
-1 3
2 4
3 5
输出样例：
2
参考文献
C++ 代码
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 100010;
struct Range{
int l, r;
bool operator < (const Range &W) const
{
return l < W.l;
}
}range[N];
int main()
{
// 目标区间
int st, ed;
scanf("%d%d", &st, &ed);
int n;
scanf("%d", &n);
for (int i=0; i<n; i++)
{
int l, r;
scanf("%d%d", &l, &r);
range[i] = {l, r};
}
sort(range, range+n);
// 记录选择的区间数量
int res = 0;
// 标记是否成功
bool success = false;
// 从前往后扫描每个区间
for (int i=0; i<n; i++)
{
// 使用双指针进行扫描
// r 记录覆盖当前start的最大右端点
int j=i, r = -2e9;
while(j < n && range[j].l <= st)
{
r = max(r, range[j].r);
j++;
}
// 如果最大右端点小于st, 则无解
if (r <= st)
{
res = -1;
break;
}
res ++;
if (r >= ed)
{
success = true;
break;
}
// 更新st
st = r;
i = j-1;
}
if (!success) res = -1;
printf("%d", res);
return 0;
}
2. Huffman树
1. 合并果子
题目链接: https://www.acwing.com/problem/content/description/150/
题目描述
在一个果园里，达达已经将所有的果子打了下来，而且按果子的不同种类分成了不同的堆。
达达决定把所有的果子合成一堆。
每一次合并，达达可以把两堆果子合并到一起，消耗的体力等于两堆果子的重量之和。
可以看出，所有的果子经过 \(n−1\) 次合并之后，就只剩下一堆了。
达达在合并果子时总共消耗的体力等于每次合并所耗体力之和。
因为还要花大力气把这些果子搬回家，所以达达在合并果子时要尽可能地节省体力。
假定每个果子重量都为 \(1\)，并且已知果子的种类数和每种果子的数目，你的任务是设计出合并的次序方案，使达达耗费的体力最少，并输出这个最小的体力耗费值。
例如有 \(3\) 种果子，数目依次为 \(1，2，9\)。
可以先将 \(1、2\) 堆合并，新堆数目为 \(3\)，耗费体力为 \(3\)。
接着，将新堆与原先的第三堆合并，又得到新的堆，数目为 \(12\)，耗费体力为 \(12\)。
所以达达总共耗费体力\(=3+12=15\)。
可以证明 \(15\) 为最小的体力耗费值。
输入格式
输入包括两行，第一行是一个整数 \(n\)，表示果子的种类数。
第二行包含 \(n\) 个整数，用空格分隔，第 \(i\) 个整数 \(a_i\) 是第 \(i\) 种果子的数目。
输出格式
输出包括一行，这一行只包含一个整数，也就是最小的体力耗费值。
输入数据保证这个值小于 \(231\)。
数据范围
\(1≤n≤10000,\)
\(1≤a_i≤20000\)
样例
输入样例：
3
1 2 9
输出样例：
15
参考文献
问题分析:
问题求解:
C++ 代码
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
int main()
{
int n;
scanf("%d", &n);
// 使用小根堆, 便于获取最小的两个点
priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> heap;
while(n--)
{
int x;
scanf("%d", &x);
heap.push(x);
}
// res存储最终结果
int res = 0;
while(heap.size()>1)
{
// 取最小的两个点合并
int a = heap.top(); heap.pop();
int b = heap.top(); heap.pop();
res += a+b;
heap.push(a+b);
}
printf("%d", res);
return 0;
}
3. 排序不等式
1. 排队打水
题目链接: https://www.acwing.com/problem/content/description/915/
题目描述
有 \(n\) 个人排队到 \(1\) 个水龙头处打水，第 \(i\) 个人装满水桶所需的时间是 \(t_i\)，请问如何安排他们的打水顺序才能使所有人的等待时间之和最小？
输入格式
第一行包含整数 \(n\)。
第二行包含 \(n\) 个整数，其中第 \(i\) 个整数表示第 \(i\) 个人装满水桶所花费的时间 \(t_i\)。
输出格式
输出一个整数，表示最小的等待时间之和。
数据范围
\(1≤n≤10^5,\)
\(1≤t_i≤10^4\)
样例
输入样例：
7
3 6 1 4 2 5 7
输出样例：
56
参考文献
C++ 代码
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 100010;
int t[N];
int n;
int main()
{
scanf("%d", &n);
for (int i=0; i<n; i++) scanf("%d", &t[i]);
// 快速排序, 从小到大排队
sort(t, t+n);
// res 存储等待结果
LL res = 0;
for (int i=0; i<n; i++) res += t[i] * (n - i - 1);
printf("%lld\n", res);
return 0;
}
4. 绝对值不等式
1. 货仓选址
题目链接: https://www.acwing.com/problem/content/description/106/
题目描述
在一条数轴上有 \(N\) 家商店，它们的坐标分别为 \(A_1∼A_N\)。
现在需要在数轴上建立一家货仓，每天清晨，从货仓到每家商店都要运送一车商品。
为了提高效率，求把货仓建在何处，可以使得货仓到每家商店的距离之和最小。
输入格式
第一行输入整数 \(N\)。
第二行 \(N\) 个整数 \(A_1∼A_N\)。
输出格式
输出一个整数，表示距离之和的最小值。
数据范围
\(1≤N≤100000,\)
\(0≤A_i≤40000\)
样例
输入样例：
4
6 2 9 1
输出样例：
12
参考文献
C++ 代码
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 100010;
int a[N];
int n;
int main()
{
scanf("%d", &n);
for (int i=0; i<n; i++) scanf("%d", &a[i]);
sort(a, a+n);
// 存储结果
int res = 0;
for (int i=0; i<n; i++) res += abs(a[i]-a[n/2]);
printf("%d\n", res);
return 0;
}
5. 推公式
1. 耍杂技的牛
题目链接: https://www.acwing.com/problem/content/description/127/
题目描述
农民约翰的 \(N\) 头奶牛（编号为 \(1..N\)）计划逃跑并加入马戏团，为此它们决定练习表演杂技。
奶牛们不是非常有创意，只提出了一个杂技表演：
叠罗汉，表演时，奶牛们站在彼此的身上，形成一个高高的垂直堆叠。
奶牛们正在试图找到自己在这个堆叠中应该所处的位置顺序。
这 \(N\) 头奶牛中的每一头都有着自己的重量 \(W_i\) 以及自己的强壮程度 \(S_i\)。
一头牛支撑不住的可能性取决于它头上所有牛的总重量（不包括它自己）减去它的身体强壮程度的值，现在称该数值为风险值，风险值越大，这只牛撑不住的可能性越高。
您的任务是确定奶牛的排序，使得所有奶牛的风险值中的最大值尽可能的小。
** 输入格式**
第一行输入整数 \(N\)，表示奶牛数量。
接下来 \(N\) 行，每行输入两个整数，表示牛的重量和强壮程度，第 \(i\) 行表示第 \(i\) 头牛的重量 \(W_i\) 以及它的强壮程度 \(S_i\)。
输出格式
输出一个整数，表示最大风险值的最小可能值。
数据范围
\(1≤N≤50000,\)
\(1≤W_i≤10,000,\)
\(1≤S_i≤1,000,000,000\)
样例
输入样例：
3
10 3
2 5
3 3
输出样例：
2
参考文献
C++ 代码
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 50010;
PII cow[N];
int n;
int main()
{
scanf("%d", &n);
for (int i=0; i<n; i++)
{
int w, s;
scanf("%d%d", &w, &s);
cow[i] = {w+s, w};
}
// 按照 w+s 从小到大排序
sort(cow, cow+n);
// res 记录风险值, sum记录重量
int res = -2e9, sum=0;
for (int i=0; i<n; i++)
{
int w = cow[i].second, s = cow[i].first - w;
res = max(res, sum-s);
sum += w;
}
printf("%d\n", res);
return 0;
}
