ACM数学部分笔记

数学部分笔记

模运算（mod/%）#

在算法竞赛中经常会用到各式各样的取模运算，下面将常用的总结下来以便自己复习

1. 什么是取模运算

• 在java和c/c++中

对于整型数a,b来说,取模运算：
1.求整数商: c = a/b;
2.计算模: a % b = a - c * b;
例子：
9 % 4 = 9 - (9 / 4) * 4 = 1
9 %-4 = 9 - (9 /-4) *-4 = 1
-9 % 4 = -9 - (-9 / 4) * 4 =-1
-9 %-4 = -9 - (-9 /-4) *-4 =-1

2. 取模运算的性质

Copy
模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下：
(a + b) % p = (a % p + b % p) % p
(a - b) % p = (a % p - b % p) % p
(a * b) % p = (a % p * b % p) % p
a ^ b % p = ((a % p)^b) % p
结合律：
((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p
((a*b) % p \* c)% p = (a \ (b*c) % p) % p
交换律：
(a + b) % p = (b+a) % p
(a * b) % p = (b * a) % p
分配律：
(a+b) % p = ( a % p + b % p ) % p
((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p

tips
当我们只关注某个整数的后k位时我们可以利用取模运算
例如：
long long x = 12345678911;
我们只关注这个数的后4位可以利用temp = x % 10^4
利用这个temp代替x与其他数字的四则运算

二进制与位运算#

1.二进制转十进制#

比如二进制101转化为十进制

$$101==1*pow(2,2)+0*pow(2,0)+1*pow(2,1)==2+1+2==5$$

2.十进制转二进制#

1. Copy
   1. 5/2=2......1
   2. 2=2/2......0
   3. 1=1

   逆向转化后成为101

3.原码反码补码#

具体：原码 反码 补码_张紫娃的博客-CSDN博客_原码反码补码

4."<<"与">>"运算#

Copy
n>>1==n/pow(2,1)
 
n<<1==n*pow(2,1)

例：

Copy
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
    int n;
    cin>>n;
    cout<<(n>>1)<<" "<<(n<<1);
    return 0;
}
input:  6
output: 3 12

5."~"运算#

6."&"运算#

素数筛#

一般筛法：循环从n到sqrt(n) 进行判断，时间复杂度O2

艾氏筛#

例题（板题）：P3912 素数个数 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

题解/板子

Copy
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
bool A[100000000];//ture or false
signed main() {
    ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0);//c++关闭同步流，建议scanf
    int n;
    cin >> n; 
    ll cnt = n;//判断个数，默认n个素数 
    cnt--;//因为1不是素数所以cnt先减1
    for (int i = 2; i * i <= n; i++) {//从2开始筛到sqrt(n)//利用开根的思想排查
        if (A[i] == false) {//如果A[i]是素数
            for (int j = i * 2; j <= n; j += i) {//若当前i为素数则将他的所有倍数标记为不是素数
                if (A[j] == false) {
                    A[j] = true; e--;
                }
            }
        }
    }
    cout << e << endl;
}

欧拉筛（OLA）#

例题（板题）：P3383 【模板】线性筛素数 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

题解/板子

Copy
#include <bits/stdc++.h>//欧拉筛
using namespace std;
bool A[100000001];   int prime[1000001];
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0);
    int n,m;
    int cnt=0;
    scanf("%d %d",&n,&m);
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(A[i]==false){
            prime[++cnt]=i;
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++){
            A[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0) break;//最重要的一步
        }
    }
    for(int i=0;i<m;i++){
        int c; scanf("%d",&c);
        printf("%d\n",prime[c]);
    }
    return 0;
}

米勒罗宾素性测试#

【学习笔记】Miller–Rabin素数测试