机器学习数学笔记|期望方差协方差矩阵

机器学习数学笔记|期望方差协方差矩阵

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简单概率计算

Example1

• 我们的思路是,若A先到达则假设A是一条长1cm的线段.B出现的概率是一个点,我们只需要让B这个点落在A这条线段上即可.同理,若B先到达,则假设B是一条长2cm的线段,A出现的概率是一个点,我们需要让A落在B这条线段上即可.

Example2

事件的独立性

期望与方差

• $$离散型E(x)=\sum_{i}X_{i}P_{i}$$
  $$连续型E(x)=\int^{\infty}_{-\infty}xf(x)dx$$

期望的性质

• $$E(kX)=kE(X)$$
  $$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$$

• 若X和Y相互独立,即P(AB)=P(A)P(B):
  $$E(XY)=E(X)E(Y)$$
  反之不成立,事实上,若E(XY)=E(X)E(Y)只能说明X和Y 不相关.

Example1

• 从1,2, 3,...98,99,2015这100个数中任意选择若干个数(可能为0个数)求异或,试求异或的期望值.
  1. 关于异或问题的计算,首先要将其转化为二进制数的形式.
  2. 其次把握异或的计算法则,异或加法不进位,并且两位取0,不同取1.两两计算,两数相加之和与第三个数进行计算.
  3. 此题中由于最后一个数最大,所以我们把其作为标准.将其作为第一个加数以二进制展开.

方差

• 定义: $$Var(X)=E{[X-E(X)]^{2}}=E(X)-E^{2}(X)$$
• 无条件成立性质: $$Var(c)=0$$
  $$Var(X+c)=Var(X)$$
  $$Var(kX)=k^{2}Var(X)$$

• X和Y独立: $$Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)$$
• 方差的平方根称为标准差.

协方差

• 定义: $$Cov(X,Y)=E{[X-E(X)] [Y-E(Y)]}$$
• 性质: $$Cov(X,Y)=Cov(Y,X)$$
  $$Cov(aX+b,cY+d)=acCov(X,Y)$$ $$Cov(X_{1}+X_{2},Y)=Cov(X_{1},Y)+Cov(X_{2},Y)$$
  $$Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$$

协方差和独立/不相关

• X和Y独立时,E(X,Y)=E(X)E(Y)而Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y),从而当X和Y独立时,Cov(X,Y)=0
• 但X和Y独立这个前提太强,我们定义:若Cov(X,Y)=0.则称X和Y不相关.
• 协方差是两个随机变量具有相同方向变化趋势的度量
• 若Cov(X,Y)大于0,它们的变化趋势相同
• 若Cov(X,Y)小于0,它们的变化趋势相反
• 若Cov(X,Y)等于0,称X和Y不相关

协方差的上界

$$若Var(X)=\sigma_{1}^{2},Var(Y)=\sigma_{2}^{2}$$

$$则|Cov(X,Y)|\leq\sigma_{1}\sigma_{2}$$

$$当且仅当X和Y之间有线性关系时,等号成立(Var()表示方差)$$

再谈独立与不相关

• 因为上述定理的保证,使得"不相关"事实上即"线性独立"
  • 即:若X与Y不相关,说明X和Y之间没有线性关系(但是有可能存在其他函数关系),不能保证X和Y相互独立.
  • 但是X和Y独立一定是不相关
• 但是对于二维正态随机变量,X与Y不相关等价于X与Y相互独立.

Pearson相关系数

协方差矩阵

• 当我们讨论两个事件时,我们称事件为X,Y,其中对于X事件有很多种情况,我们可以用向量的方式表示一个事件X的不同情况.
• 我们原先讨论的是X,Y两个事件的协方差情况,如果对于n个事件,我们怎样计算不同事件之间的协方差?--这里引入协方差矩阵的概念.