TSP问题-分支限界法求解

• 此为课题组所指导本科生和低年级硕士生学习组合优化问题汇报
• 所用教材：北京大学屈婉玲教授《算法设计与分析》
• 课程资料：https://www.icourse163.org/course/PKU-1002525003 承诺不用于任何商业用途，仅用于学术交流和分享
• 更多内容请关注许志伟课题组官方中文主页：https://JaywayXu.github.io/zh-cn/

1. 货郎问题的分支限界算法求解 （10.4）

1.1. 货郎问题的定义

• 给定一个城市集合 $C = \{c_1, c_2, \dots, c_n\}$，任何两个城市之间都有距离 $d\left(c_i, c_j\right)=d\left(c_j, c_i\right) \in \mathbf{Z}^{+}, 1 \leq i<j \leq n$。
• 目标： 找到一个城市的排列，使得从一个城市出发，访问每个城市恰好一次，并返回出发城市，总路径长度最短。

1.2. 算法设计

• 解向量：
  解: $1,2, \ldots, n$ 的排列 $k_1, k_2, \ldots, k_n$ 使得:

$$\min \left\{\sum_{i=1}^{n-1} d\left(c_{k_i}, c_{k_{i+1}}\right)+d\left(c_{k_n}, c_{k_1}\right)\right\}$$

• 搜索空间：
  排列树结构，每个结点 $\langle i_1, i_2, \dots, i_k \rangle$ 表示前 $k$ 步的路线已确定。

• 约束条件：

  • 已走过的城市标号放入集合 $B = \{i_1, i_2, \dots, i_k\}$。
  • 下一步只能选择未访问过的城市：$i_{k+1} \in \{2, \dots, n\} \setminus B$。
  • 即每个节点只能访问一次

1.3. 代价函数与界的定义

• 界 (Bound)： 当前已找到的最短巡回路线的长度。

• 代价函数：
  假设顶点 $c_i$ 出发的最短边为 $l_i$，$d_j$ 为已选定的巡回路线中第 $j$ 段的长度，则代价函数为：

$$\boldsymbol{L}=\sum_{j=1}^k \boldsymbol{d}_j+\boldsymbol{l}_{i_k}+\sum_{i_i \notin B} \boldsymbol{l}_{i_j}$$

• 前半部分：已走过的路径长度。
• 后半部分：剩余未访问的城市，从每个城市出发的最短边构成的下界。

1.4. 代价函数示例

1.4. 代价函数示例

我们通过一个具体路径的代价函数计算示例，来更好理解分支限界算法中如何评估路径的代价和下界。

示例路径及红色路径描述

如图所示，我们假设货郎从 1号城市 出发，依次访问了 3号城市 和 2号城市，形成了部分路径 $\langle 1, 3, 2 \rangle$。现在我们已经走到 2号城市，接下来需要计算该路径的代价函数，来评估当前路径的花费以及剩余部分的下界。

代价函数的计算公式

代价函数 $L$ 的通用表达式如下：

$$L = \text{已走过的路径长度} + \text{剩余部分的估计长度下界}$$

• 已走过的路径长度：
  将已访问的城市之间的路径距离累加，例如在路径 $\langle 1, 3, 2 \rangle$ 中，

  $$1 \to 3：9 \,\, (单位)$$
  $$3 \to 2：13 \,\, (单位)$$

  已走过的路径总长度为：

  $$9 + 13 = 22 \,\, (单位)$$

• 剩余部分的估计长度下界：

  • 当前停留在 2号城市，我们需要从 2号城市出发选择一条最短边。
    2号城市的最短边是 $2 \to 4$，边长为 $2$。
  • 在剩余的未访问城市中，还未访问的城市是 4号城市。从 4号城市出发的最短边也是 $4 \to 2$，长度同样为 $2$。

因此，剩余部分的估计长度下界为：

$$2 + 2 = 4 \,\, (单位)$$

完整代价函数值计算

将已走过的路径长度和剩余部分的下界相加，得到代价函数的值：

$$L = 22 + 4 = 26 \,\, (单位)$$

下界解释

这个代价函数的结果表明，无论之后如何规划剩余的路径，完整路径的总长度不会小于 26。这个下界帮助算法在搜索时进行剪枝，即当其他路径的代价超过该下界时，就不再继续深入搜索该分支。

1.5. 搜索树结构

• 初始结点： 从城市 1 出发。

• 可选路径：

  • 第一层：1 号城市之后可以去 2、3、4。
  • 第二层：假设选择了 2 号城市，则下一步可选 3 或 4。

• 深度优先遍历：

  • 第一条路径：$\langle 1, 2, 3, 4, 1 \rangle$，长度 $29$。

    • 这是第一个找到的巡回路线，界 $B = 29$。

  • 更新界：
    找到路径 $\langle 1, 2, 4, 3, 1 \rangle$，长度 $23$。更新界 $B = 23$。

  • 剪枝：
    当搜索路径 $\langle 1, 3, 2 \rangle$ 的代价函数值为 $26$，大于当前界 $B = 23$，停止搜索该分支。

1.6. 实例运行过程

1. 初始路径：

   • 路径 $\langle 1, 2, 3, 4, 1 \rangle$，长度为 $29$。

2. 更新路径：

   • 找到更优路径 $\langle 1, 2, 4, 3, 1 \rangle$，长度为 $23$，更新界。

3. 剪枝：

   • 代价函数值 $F = 26$，停止该分支的搜索。

4. 最优解：

   • 找到路径 $\langle 1, 3, 4, 2, 1 \rangle$，长度 $23$。
     • 该路径与之前的最优解长度相同。

1.7. 算法分析

• 搜索树的规模：

  • 树叶的个数为 $O((n - 1)!)$。
  • 每个叶片对应一条路径，每条路径有 $n$ 个结点。

• 时间复杂度：

  • 单个路径计算时间： $O(n)$。
  • 总时间复杂度： $O(n!)$。
  • 在最坏情况下，与蛮力算法的时间复杂度相同。

• 实际性能：
  通过剪枝操作，大大减少了实际搜索空间，因此平均运行时间优于蛮力算法。

1.8. 小结

• 货郎问题的分支限界算法：

  • 约束条件： 只能选择未访问过的城市。
  • 代价函数： 已走过的路径长度 + 未访问部分的长度下界。

• 时间复杂度： $O(n!)$，在最坏情况下与蛮力算法相同，但通过剪枝可显著提升平均性能。