最大团问题-分支限界法求解

• 此为课题组所指导本科生和低年级硕士生学习组合优化问题汇报
• 所用教材：北京大学屈婉玲教授《算法设计与分析》
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1. 最大团问题的定义及子图与补图的描述

1.1. 最大团问题的定义

在一个无向图 $G = (V, E)$ 中，团（Clique） 是一个完全子图，即该子图中的任意两个顶点之间都有边。最大团（Maximum Clique） 是所有团中包含顶点数最多的团，最大团问题即是寻找无向图中包含最多顶点的完全子图。

数学表述：

• 输入： 给定无向图 $G = (V, E)$，其中 $V$ 是顶点集，$E$ 是边集。
• 目标： 找到一个最大子集 $V' \subseteq V$ 使得 $V'$ 中任意两个顶点之间都有边，即 $V'$ 形成一个完全子图。

1.2. 子图的定义

• 子图（Subgraph） 是从原图 $G = (V, E)$ 中选取部分顶点和与这些顶点相关的边构成的新图。

  形式化定义：

  • 设子图为 $G' = (V', E')$，则 $V' \subseteq V$，且 $E' \subseteq E$。
  • $E'$ 包含的边只能是与 $V'$ 中的顶点相连的那些边。

子图的作用：
通过选取图的一部分顶点和边，可以分析图的局部结构，减少计算复杂度，从而简化求解过程。

1.3. 补图的定义

• 补图（Complement Graph） 是与原图的边关系互补的图。对于原图 $G = (V, E)$，其补图 $\bar{G} = (V, E')$ 具有相同的顶点集 $V$，但边集不同。补图中的边集 $E'$ 是完全图中的边集关于 $G$ 的补集。

  数学表述：

  • 在原图 $G$ 中，若两个顶点之间有边 $(u, v) \in E$，则在补图 $\bar{G}$ 中没有边，即 $(u, v) \notin E'$。
  • 反之，若 $(u, v) \notin E$，则 $(u, v) \in E'$。

  形式化：

  • $E' = E_K \setminus E$，其中 $E_K$ 是包含所有可能顶点对的完全图的边集。

补图的作用：
补图的定义使得我们可以将团问题与独立集问题建立联系，从而简化求解过程。

1.4. 点独立集的定义

• 点独立集（Independent Set） 是图 $G = (V, E)$ 中一个顶点的子集 $A \subseteq V$，且该子集中的任意两个顶点之间都没有边。

  数学表述：

  • 对于 $u, v \in A$，有 $(u, v) \notin E$。

独立集的直观理解：
独立集中的顶点互不相连，因此在某些应用中，可以用独立集来表示不冲突的元素或任务。

1.5. 最大点独立集的定义

• 最大点独立集（Maximum Independent Set） 是包含最多顶点的独立集。

  数学表述：

  • 找到一个最大子集 $A \subseteq V$，使得 $A$ 是独立集，即任意两个顶点 $u, v \in A$ 都满足 $(u, v) \notin E$。

应用：
最大点独立集常用于调度、资源分配等问题，表示一组互不冲突的选择。

1.6. 最大团与补图的关系

• 最大团与补图中的最大点独立集的等价性：
  • 在补图 $\bar{G}$ 中，寻找最大点独立集的问题等价于在原图 $G$ 中寻找最大团。
  • 原因： 如果两个顶点在补图中没有边，则在原图中它们之间有边。因此，原图中的最大团对应于补图中的最大点独立集。

2. 最大团问题的应用场景

2.1. 应用领域概述

最大团问题在多个领域中有广泛应用，包括但不限于：

• 编码设计：解决通信信道中的字符混淆问题，优化传输过程。
• 故障诊断：识别系统中的故障模块，确保系统可靠运行。
• 计算机视觉与聚类分析：分析图像数据中的密集关系并进行模式识别。
• 经济学与移动通信：用于复杂系统的优化分析，如网络布局和资源分配。
• VLSI（大规模集成电路）设计：提高电路布局的效率，减少冲突和干扰。

2.2. 混淆图与编码设计的描述

在通信信道中，由于噪音的存在，字符的传输可能会发生混淆。例如，字符 $u$ 在传输过程中可能被误解为字符 $v$。为了描述这种情况，我们使用混淆图（Confusion Graph）。

• 混淆图定义：
  给定混淆图 $G = (V, E)$，其中 $V$ 为字符集，$E$ 为边集。如果 $(u, v) \in E$，则表示字符 $u$ 和 $v$ 在传输过程中容易混淆。

在上述图中，字符 $u$ 与 $v$，$i$ 与 $j$ 之间的边表示它们在噪音环境中可能会被混淆。

2.3. 字符串混淆与编码设计优化

在实际传输过程中，通常使用字符串而非单个字符来传递信息。为了描述字符串间的混淆，我们引入以下条件：

• 字符串混淆条件：
  字符串 $xy$ 与 $uv$ 发生混淆，当且仅当以下条件之一成立：
  1. $x$ 与 $u$ 混淆，且 $y$ 与 $v$ 混淆。
  2. $x = u$ 且 $y$ 与 $v$ 混淆。
  3. $x$ 与 $u$ 混淆，且 $y = v$。

如图所示，图 $G$ 和 $H$ 的正规积用于描述字符串混淆的关系：

在上述图中，不同字符串之间的边表示它们可能发生混淆。

2.4. 混淆图中的最大点独立集

在混淆图中，为了减少噪音对传输的干扰，我们需要找到最大点独立集，即字符之间相互独立且不会发生混淆的最大集合。

• 最大点独立集的作用：
  通过在混淆图中找到最大点独立集，确保这些字符之间没有边相连，从而避免混淆。
  这意味着在编码设计时，我们可以通过选择混淆图中的最大点独立集来优化传输的可靠性。

3. 使用分支限界法解决最大团问题

3.1. 最大团问题的数学描述

问题定义：

给定无向图 $G = (V, E)$，其中：

• 顶点集 $V = \{1, 2, \ldots, n\}$，
• 边集为 $E$。

目标：
求 $G$ 中的最大团。

解的形式：

解可以表示为一个 $0-1$ 向量 $\langle x_1, x_2, \ldots, x_n \rangle$，其中：

• $x_k = 1$ 当且仅当顶点 $k$ 属于最大团。

3.2. 蛮力算法的描述

蛮力算法：

• 对每个顶点子集进行检查，判断该子集是否构成团，即检查其中每对顶点之间是否都有边。
• 复杂度：
  对于 $n$ 个顶点，有 $2^n$ 个子集，故需要至少指数时间来完成计算。

3.3. 分支限界算法的设计

搜索树结构：

• 搜索树为子集树，每个结点 $\langle x_1, x_2, \ldots, x_k \rangle$ 表示已经考察了顶点 $1, 2, \ldots, k$。
• 若 $x_i = 1$，则表示顶点 $i$ 在当前的团中；否则表示不在团中。

约束条件：

新加入的顶点必须与当前团中的所有顶点有边相连。

界：

当前已找到的极大团的顶点数，作为后续计算的界限，用于剪枝。

3.4. 代价函数的定义

代价函数的设定：

• 代价函数（Cost Function） 用于估计当前团可能扩展为极大团的顶点数上界：
  $$F = C_n + (n - k)$$
  其中：
  • $C_n$ 为当前团中的顶点数（初始为 $0$），
  • $k$ 为当前搜索的深度或层数。

代价函数的解释：

• 如果当前已考察了 $k$ 个顶点，其中有 $C_n$ 个顶点在团内，则剩余未考察的顶点数为 $n - k$。
• 理论上，最理想的情况是所有剩余的 $n - k$ 个顶点全部可以加入团。因此，我们将上界设定为：
  $$F = C_n + (n - k)$$
  即：上界 = 已加入团的顶点数 + 剩余未考察的顶点数。

粗糙性分析：

• 这个估计较为粗糙，因为未考察的 $n - k$ 个顶点中，可能有很多顶点不能加入团。因此，该上界通常会偏高。
• 优点： 这种代价函数计算简单，能快速估计上界。
• 缺点： 由于估计粗糙，在实际搜索过程中，裁剪掉的搜索树空间较少，因此提高效率的作用有限。

最坏情况分析：

• 在最坏情况下，即使使用了分支限界法，可能也无法显著减少搜索空间，导致与蛮力算法的复杂度相同：
  $$O(n \cdot 2^n)$$
  这表明，即使使用该算法，也可能遇到一些实例无法大幅裁剪结点，导致计算时间接近蛮力法的水平。

4. 实例推导过程

图的结构及初始定义

图结构：

• 顶点：$\{1, 2, 3, 4, 5\}$
• 边：根据图中连线给定。

表示方法：

每个顶点 $x_i = 1$ 表示该顶点进入团，$x_i = 0$ 表示该顶点不在团中。
左子树表示 $x_i = 1$，右子树表示 $x_i = 0$。

变量说明：

• B：界（已找到团的最大顶点数）。
• F：代价函数值（估计当前团的最大扩展可能）。

搜索树推导步骤

1. 起点：选择顶点 1

   • 左分支：$x_1 = 1$，顶点 1 进入团。
   • 右分支：$x_1 = 0$，顶点 1 不在团中。

2. 第二步：处理顶点 2

   • 选择 左分支，即 $x_2 = 1$，顶点 2 加入团。
     • 因为 1 号与 2 号顶点之间有边，满足团的条件。

3. 第三步：处理顶点 3

   • 检查后发现：顶点 3 与顶点 2 无边，不满足团的条件。
     • 右分支：$x_3 = 0$，顶点 3 不在团中。

4. 第四步：处理顶点 4

   • 左分支：$x_4 = 1$，顶点 4 可以加入团，因为它与顶点 1、2 均有边。

5. 第五步：处理顶点 5

   • 顶点 5 无法加入团，因为它与顶点 2 无边。
     • 右分支：$x_5 = 0$。

6. 第一个可行解 (a)：

   • 得到团 $\{1, 2, 4\}$，顶点数为 3，对应的界 $B = 3$。

考虑右分支：4 号顶点不进团的情况

1. 回到第 4 步：4 号顶点不进团
   • 右分支：$x_4 = 0$，顶点 4 不在团中。
   • 在这种情况下，团为 $\{1, 2\}$，顶点数为 2。代价函数 $F = 2 + 1 = 3$。由于该解不优于当前界 $B = 3$，无需进一步搜索。

回溯与继续搜索

1. 回溯到顶点 2：

   • 在之前的路径中，顶点 1 和 2 已经被选择进入团。现在尝试回溯到顶点 2，选择其右分支，即 $x_2 = 0$，顶点 2 不进入团。

2. 继续处理顶点 3、4、5：

   • 由于顶点 1 已经在团中，现在可以选择顶点 3、4 和 5 检查它们是否可以加入团：
     • 顶点 3：可以进入团，因为它与顶点 1 之间有边。
       • 左分支：$x_3 = 1$，顶点 3 进入团。
     • 顶点 4：可以进入团，因为它与顶点 1 和 3 之间都有边。
       • 左分支：$x_4 = 1$，顶点 4 进入团。
     • 顶点 5：也可以进入团，因为它与顶点 3 和 4 都有边。
       • 左分支：$x_5 = 1$，顶点 5 进入团。

3. 生成最大团：

   • 新的团为 $\{1, 3, 4, 5\}$，顶点数为 4。

4. 更新界 $B$：

   • 当前找到的团顶点数为 4，因此更新界 $B = 4$。

剪枝与停止搜索

1. 剪枝判断：
   • 当后续代价函数 $F$ 估计值不超过当前界 $B = 4$ 时，不再继续搜索。
   • 所有其他可能路径的代价函数值均不超过 $F = 4$，因此停止搜索。

搜索树总结

• 第一条路径： $\{1, 2, 4\}$，界 $B = 3$。
• 第二条路径： $\{1, 3, 4, 5\}$，更新界 $B = 4$。

最终结果

• 最大团： $\{1, 3, 4, 5\}$，顶点数为 4。

5. 小结

5.1. 最大团问题与点独立集的关系

• 最大团问题与点独立集问题之间存在紧密的对应关系：
  • 在补图中寻找最大点独立集，等价于在原图中寻找最大团。
  • 通过这种对应关系，可以将问题转化为求解补图中的独立集，从而简化求解过程。

5.2. 分支限界算法的设计

树的结构：

• 子集树：分支限界法使用子集树结构，对每个顶点进行逐一选择（进入团或不进入团），从而构造搜索空间。

分支约束条件：

• 新加入团的顶点必须与当前团中所有顶点都有边相连，否则不进行进一步分支。

代价函数与界的设定：

• 代价函数估计当前团可能扩展为极大团的顶点数上界：

  $$F = C_n + (n - k)$$
  • $C_n$ 为当前团中的顶点数（初始为 0）。
  • $k$ 为当前已考察的层数（深度）。

• 界 $B$：找到的最大团的顶点数用于更新界，帮助剪枝。

5.3. 时间复杂度分析

• 最坏情况时间复杂度：
  $$O(n \cdot 2^n)$$
  • 即使使用了分支限界法，在某些最坏情况下，仍然需要指数级时间搜索所有可能子集。

5.4. 小结与展望

• 分支限界算法通过使用剪枝策略，在保证找到最优解的前提下减少了计算量，提高了算法的实际效率。
• 最大团问题在编码设计、计算机视觉、故障诊断等多个领域中有着广泛应用，且求解该问题为解决其他复杂问题提供了理论支持。