【转】EM算法MATLAB代码及详细注解
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作者：鼹鼠的胡须
觉得有用的话,欢迎一起讨论相互学习~
下面代码为PRML所附的基于混合高斯（MoG）的代码，个人认为编码可读性和风格都值得借鉴。
function [label, model, llh] = mixGaussEm(X, init)
% Perform EM algorithm for fitting the Gaussian mixture model.
% Input:
% X: d x n data matrix
% init: k (1 x 1) number of components or label (1 x n, 1<=label(i)<=k) or model structure
% Output:
% label: 1 x n cluster label
% model: trained model structure
% llh: loglikelihood
% Written by Mo Chen (sth4nth@gmail.com).
%% init
fprintf('EM for Gaussian mixture: running ... \n');
tol = 1e-6;
maxiter = 500;
llh = -inf(1,maxiter);
R = initialization(X,init);
for iter = 2:maxiter
[~,label(1,:)] = max(R,[],2); %label表示1*n的类别向量
R = R(:,unique(label)); % remove empty clusters，unique输出label向量中不重复的元素，表示非空类别向量
model = maximization(X,R); %EM算法的M step，X表示数据矩阵，R表示类别矩阵，model是结构体，表示模型，其属性是模型的参数
[R, llh(iter)] = expectation(X,model); %EM算法的E step，X表示数据矩阵，model表示模型结构体，R表示返回的隶属度矩阵，llh表示似然函数的目标值
if abs(llh(iter)-llh(iter-1)) < tol*abs(llh(iter)); break; end;
end
llh = llh(2:iter);
function R = initialization(X, init) %X是数据矩阵，init用于初始化MoG的成分，R返回的是一个n行k列的矩阵，第ij个元素表示第i个样本由第j个成分生成的概率
n = size(X,2); %n是样本个数
if isstruct(init) % init with a model %isstruct判断输入是否是一个matlab结构体
R = expectation(X,init); %如果init是一个结构体，直接用该模型进行E step
elseif numel(init) == 1 %如果init是一个整数
k = init; %用init表示混合成分的个数，即类别个数
label = ceil(k*rand(1,n)); %ceil用于向数轴的正方向取整，初始化样本的label
R = full(sparse(1:n,label,1,n,k,n)); %sparse通过记录稀疏矩阵非负元素的索引和值来节省内存，full是一相反作用；R是n行k列矩阵，n表示样本个数，k表示类别数，每一行
%是一个one-hot向量，表示该样本属于哪一类
elseif all(size(init)==[1,n]) % init with labels %若init是一个一行n列的向量，则为样本类别的向量
label = init;
k = max(label);
R = full(sparse(1:n,label,1,n,k,n));
else
error('ERROR: init is not valid.');
end
%EM算法的E step，X表示数据矩阵，model表示模型结构体，R表示返回的隶属度矩阵，llh表示似然函数的目标值
function [R, llh] = expectation(X, model)
mu = model.mu;
Sigma = model.Sigma;
w = model.w; %w为MoG的混合系数向量
n = size(X,2); %n为样本个数
k = size(mu,2); %k为MoG混合成分的个数，即类别个数
R = zeros(n,k); %R隶属度矩阵，行数为样本个数，列数为类别个数，第ij个元素表示第i个样本由第j个成分生成的概率
for i = 1:k %计算样本的每个gauss概率的对数
R(:,i) = loggausspdf(X,mu(:,i),Sigma(:,:,i));
end
R = bsxfun(@plus,R,log(w)); %计算隶属度（未归一化）矩阵的对数
T = logsumexp(R,2); %对R取指数加和再取对数
llh = sum(T)/n; % loglikelihood %似然函数的均值
R = exp(bsxfun(@minus,R,T)); %计算隶属度矩阵
%EM算法的M step，X表示数据矩阵，R表示隶属度矩阵，第ij个元素表示第i个样本由第j个成分生成的概率，model是结构体，表示模型，其属性是模型的参数
function model = maximization(X, R)
[d,n] = size(X); %d表示样本维数，n表示样本个数
k = size(R,2); %k表示MoG成分的个数
nk = sum(R,1); %nk表示求隶属度矩阵R的列和
w = nk/n; %w表示混合成分系数
mu = bsxfun(@times, X*R, 1./nk); %mu是一个m行k列的矩阵，表示k个高斯成分的期望，每个都是m元随机变量
Sigma = zeros(d,d,k); %Sigma是一个三维张量，表示第k个高斯成分的协方差矩阵是d*d的
r = sqrt(R);
for i = 1:k %循环计算每个成分的协方差
Xo = bsxfun(@minus,X,mu(:,i));
Xo = bsxfun(@times,Xo,r(:,i)');
Sigma(:,:,i) = Xo*Xo'/nk(i)+eye(d)*(1e-6);
end
model.mu = mu;
model.Sigma = Sigma;
model.w = w;
function y = loggausspdf(X, mu, Sigma) %计算Gauss概率分布函数的对数的函数，输入变量分别为数据X，期望mu，期望协方差Sigma
d = size(X,1); %d表示样本维数
X = bsxfun(@minus,X,mu); %样本与均值作差
[U,p]= chol(Sigma); %chol表示将协方差矩阵Sigma进行一个上三角矩阵分解，U表示上三角因子矩阵，Sigma=U'的逆与U作积（将协方差矩阵分解求逆加快计算效率）
if p ~= 0 %如果p不为0则Sigma不是正定矩阵，报错
error('ERROR: Sigma is not PD.');
end
Q = U'\X; %Q=U'的逆与X的乘积
q = dot(Q,Q,1); % quadratic term (M distance) %dot表示点乘之后求列和
c = d*log(2*pi)+2*sum(log(diag(U))); % normalization constant
y = -(c+q)/2;
function s = logsumexp(X, dim)
% Compute log(sum(exp(X),dim)) while avoiding numerical underflow.
% By default dim = 1 (columns).
% Written by Mo Chen (sth4nth@gmail.com).
if nargin == 1,
% Determine which dimension sum will use
dim = find(size(X)~=1,1);
if isempty(dim), dim = 1; end
end
% subtract the largest in each dim
y = max(X,[],dim);
s = y+log(sum(exp(bsxfun(@minus,X,y)),dim)); % TODO: use log1p
i = isinf(y);
if any(i(:))
s(i) = y(i);
end
