快速理解排列与组合公式
快速理解排列与组合公式
一、排列(Permutation)
0、排列与组合的区别：
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排列：从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取知r个的无重复排列。
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组合：从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。
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符号表示不同:
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排列A(n,r)。
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组合版C(n,r)。
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比如在3个数中选择2个数,组合方法有C（3,2）=3种,是12、13、23。而排列方法有12、21、13、31、23、32共A（3,2）=6种，组合对数据顺序无关,排列对数据顺序有关联。
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1、定义
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从\(n\)个不同元素中，任取\(m\)(\({m≤n}\)，\(m\)与\(n\)均为自然数) 个不同的元素按照一定的顺序排成一列，叫做从\(n\)个不同元素中取出\(m\)个元素的一个排列；
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从\(n\)个不同元素中取出\(m\)(\(m≤n\))个元素的所有\(\color{red}{排列的个数}\)，叫做从\(n\)个不同元素中取出\(m\)个元素的\(\color{red}{排列数}\)，用符号\(A(n,m)\)或\(A_{n}^{m}\)表示。
2、公式
\[A_{n}^{m}=\underbrace{n(n-1)(n-2)...(n-m+1)}_{m项}=\frac{n!}{(n-m)!}
\]
3、案例
(1) 1-6中选取两个数组成两位数的排列
\[A_{6}^{2}=6\times5 = 30
\]
- \(\color{red}{技巧}\)
\(从n=6开始，算阶乘，算m=2次。即，6\times5=30种排列。\)
4、性质
- \(n=m\)时,
\[A_{n}^{m}=n!
\]
- 排列\(\color{red}{有顺序}\)
二、组合(Combination)
1、定义
- 从\(n\)个不同元素中，任取\(m(m≤n)\)个元素并成一组，叫做从\({n}\)个不同元素中取出\(m\)个元素的一个组合；
- 从\(n\)个不同元素中取出\(m(m≤n)\)个元素的所有组合的个数，叫做从\(n\)个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号\(C(n,m)\)或\(C_{n}^{m}\)表示。
2、公式
\[C_{n}^{m}=\frac{A_{n}^{m}}{m!}=\frac{n(n-1)(n-2)...(n-m+1)}{m!}
\]
\[C_{n}^{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}
\]
3、案例
(1) 从1-6中选取两个数的组合
\[C_{6}^{2}=\frac{6\times5}{1\times2}=15
\]
- \(\color{red}{技巧}\)
\(分子从n=6开始，算阶乘，算m=2次；分母从1开始，算阶乘，算m=2次。即：\frac{6\times5}{1\times2}=15\)
4、性质
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\(若a+b=n，则C_{n}^{a}=C_{n}^{b}\)
- 那么：
\[C_{5}^{2} = C_{5}^{3} \]\[C_{100}^{98} = C_{100}^{2} \] -
\(C_{n}^{n}=C_{n}^{0}=1\)
- 那么：
\[C_{100}^{100} = C_{100}^{0}=1 \] -
组合\(\color{red}{无顺序}\)
