8.28 A 星人是一种 OI 很强的生物

Mahjong

找到可以通过以下两种操作，使得长度为 $N$ 、元素之和为 $M$ 的数列 $A$ 全为 $0$ 的 $A$ 的个数，再取模 $998244353$ 。

在 $A$ 中选一个元素，将其减去 $K$ 。

在 $A$ 中选取长度为 $K$ 的子串，子串中每个元素减去 $1$ 。

tag：组合数学

搞笑题，我忘了插板法，我更搞笑。

首先判无解。由于两种操作均可看作从总和中减去 $k$ ，所以若 $M\bmod K\ne 0$ 就无解。

发现直接从 $A$ 中删除比较麻烦，所以我们选择从 $B=\{0,0,\dots,0\}$ 开始加，加出来的序列就是我们的 $A$ 。

考虑如何不重不漏统计出 $A$ 。发现唯一重复的情况是执行了 $\ge k$ 次 $i$ 相同的二操作，这能被 $k$ 次一操作替代。于是实际上我们要构造一组操作序列 $b$ ， $[b_1,b_2,\dots,b_{n-k+1}]$ 中 $b_i$ 代表下标为 $i$ 的二操作执行了多少次， $[b_{n-k+1},b_{n-k+2},\dots,b_{2n-k+1}]$ 中 $b_{n-k+1+i}$ 表示下标为 $i$ 的一操作执行了多少次。那么我们有如下限制：

$\sum_{1\le i\le 2n-k+1}b_i = \frac{m}{k}$ 。
对于所有 $i\in [1, n-k+1]$ ， $b_i<k$ 。

这相当于前 $n-k+1$ 个板有上界限制的插板法。发现上界限制难做，但下界限制好做，无非是先从所有元素里划出一部分做下界然后转无限制插板法。所以我们容斥，钦定 $i$ 个 $b_i$ 不合法，枚举 $n-k+1$ 中哪 $i$ 个不合法，然后有：

\sum_{i = 0}^{n - k + 1} (- 1)^{i} (\binom{n - k + 1}{i}) (\binom{\frac{m}{k} - i k + 2 n - k}{2 n - k})

$\sum_{i=0}^{n-k+1}(-1)^i\tbinom{n-k+1}{i}\tbinom{\frac{m}{k}-ik+2n-k}{2n-k}$

由于 $\frac{m}{k}$ 很大，但是 $2n-k$ 很小，于是我们暴力处理组合数即可。

Make Biconnected

给你一棵由无向边组成的二叉树，树上每个点有权值 $w_i$ 。你可以把两个点之间连无向边，如果将 $u$ 与 $v$ 连边，代价是 $w_u+w_v$ 。请给出一种连边方式，使得连边后，图中去掉任何一个点仍然联通，即图是一个点双连通图。在此基础上，你要使代价最小。

tag：构造

发现对于度数为 $1$ 的每个点，必定有条路径以它为一个端点。否则它会产生割点。

因此，我们将所有度数为 $1$ 的点配对，然后两两匹配即可。每个点匹配与他距离最长的那个点。

需要注意的是这样可能会多出一个点，我们把这个点向上跳，直到跳到第一个三度点。三度点到这个叶子节点的路径必须被覆盖，于是我们在树的剩余部分找到最小值连起来即可。

All Pair Shortest Paths

给你一个 $2\times N$ 的表格，定义 $f(x,y)$ 为 $x$ 走到 $y$ 经过格子权值和的最小值，求所有 $f(x,y)$ 之和。

tag：分治

之后的讨论中，不妨设 $x$ 的横坐标小于 $y$ 。

由于表格只有两行，因此我们的路径必定横坐标递增。因为如果走了回头路，就要再把之前走过的路再走一遍，而且没有收益。

这样的话，我们就把对 $f(l,r)$ 的讨论限制在了 $[l,r]$ 这个区间里。于是可以考虑分治。对于分治中心 $mid$ ，考虑左端点在 $[L,mid]$ 之间，右端点在 $[mid+1,R]$ 之间产生的贡献。对于左边，我们倒着做，考虑 $(mid,0)$ 和 $(mid,1)$ 到左边每个点的最短路径。对于右边，我们正着做，同样是从中央两个点开始考虑。

最后一个问题，我们如何合并左右两边的答案。答案有两种情况： $A_{l,1}+B_{r,1}$ 和 $A_{l,0}+B_{r,0}$ ，表示走到 $mid$ 上方的点汇合还是走到下方的点汇合。我们把右边的点按照 $B_{i,0}-B_{i,1}$ 从小到大排序，显然如果 $A_{l,0}-A_{l,1}+B_{r,0}-b_{r,1}>0$ 则走 $A_{l,1}+B_{r,1}$ 更优。于是做一个二分后前缀和统计贡献即可。时间复杂度 $O(n\log^2 n)$ 。