8.28 A 星人是一种 OI 很强的生物

Mahjong

找到可以通过以下两种操作，使得长度为 \(N\)、元素之和为 \(M\) 的数列 \(A\) 全为 \(0\) 的 \(A\) 的个数，再取模 \(998244353\)。

1. 在 \(A\) 中选一个元素，将其减去 \(K\)。
2. 在 \(A\) 中选取长度为 \(K\) 的子串，子串中每个元素减去 \(1\)。

tag：组合数学

搞笑题，我忘了插板法，我更搞笑。

首先判无解。由于两种操作均可看作从总和中减去 \(k\)，所以若 \(M\bmod K\ne 0\) 就无解。

发现直接从 \(A\) 中删除比较麻烦，所以我们选择从 \(B=\{0,0,\dots,0\}\) 开始加，加出来的序列就是我们的 \(A\)。

考虑如何不重不漏统计出 \(A\)。发现唯一重复的情况是执行了 \(\ge k\) 次 \(i\) 相同的二操作，这能被 \(k\) 次一操作替代。于是实际上我们要构造一组操作序列 \(b\)，\([b_1,b_2,\dots,b_{n-k+1}]\) 中 \(b_i\) 代表下标为 \(i\) 的二操作执行了多少次，\([b_{n-k+1},b_{n-k+2},\dots,b_{2n-k+1}]\) 中 \(b_{n-k+1+i}\) 表示下标为 \(i\) 的一操作执行了多少次。那么我们有如下限制：

1. \(\sum_{1\le i\le 2n-k+1}b_i = \frac{m}{k}\)。
2. 对于所有 \(i\in [1, n-k+1]\)，\(b_i<k\)。

这相当于前 \(n-k+1\) 个板有上界限制的插板法。发现上界限制难做，但下界限制好做，无非是先从所有元素里划出一部分做下界然后转无限制插板法。所以我们容斥，钦定 \(i\) 个 \(b_i\) 不合法，枚举 \(n-k+1\) 中哪 \(i\) 个不合法，然后有：

\[\sum_{i=0}^{n-k+1}(-1)^i\tbinom{n-k+1}{i}\tbinom{\frac{m}{k}-ik+2n-k}{2n-k} \]

由于 \(\frac{m}{k}\) 很大，但是 \(2n-k\) 很小，于是我们暴力处理组合数即可。

Make Biconnected

给你一棵由无向边组成的二叉树，树上每个点有权值 \(w_i\)。你可以把两个点之间连无向边，如果将 \(u\) 与 \(v\) 连边，代价是 \(w_u+w_v\)。请给出一种连边方式，使得连边后，图中去掉任何一个点仍然联通，即图是一个点双连通图。在此基础上，你要使代价最小。

tag：构造

发现对于度数为 \(1\) 的每个点，必定有条路径以它为一个端点。否则它会产生割点。

因此，我们将所有度数为 \(1\) 的点配对，然后两两匹配即可。每个点匹配与他距离最长的那个点。

需要注意的是这样可能会多出一个点，我们把这个点向上跳，直到跳到第一个三度点。三度点到这个叶子节点的路径必须被覆盖，于是我们在树的剩余部分找到最小值连起来即可。

All Pair Shortest Paths

给你一个 \(2\times N\) 的表格，定义 \(f(x,y)\) 为 \(x\) 走到 \(y\) 经过格子权值和的最小值，求所有 \(f(x,y)\) 之和。

tag：分治

之后的讨论中，不妨设 \(x\) 的横坐标小于 \(y\)。

由于表格只有两行，因此我们的路径必定横坐标递增。因为如果走了回头路，就要再把之前走过的路再走一遍，而且没有收益。

这样的话，我们就把对 \(f(l,r)\) 的讨论限制在了 \([l,r]\) 这个区间里。于是可以考虑分治。对于分治中心 \(mid\)，考虑左端点在 \([L,mid]\) 之间，右端点在 \([mid+1,R]\) 之间产生的贡献。对于左边，我们倒着做，考虑 \((mid,0)\) 和 \((mid,1)\) 到左边每个点的最短路径。对于右边，我们正着做，同样是从中央两个点开始考虑。

最后一个问题，我们如何合并左右两边的答案。答案有两种情况： \(A_{l,1}+B_{r,1}\) 和 \(A_{l,0}+B_{r,0}\)，表示走到 \(mid\) 上方的点汇合还是走到下方的点汇合。我们把右边的点按照 \(B_{i,0}-B_{i,1}\) 从小到大排序，显然如果 \(A_{l,0}-A_{l,1}+B_{r,0}-b_{r,1}>0\) 则走 \(A_{l,1}+B_{r,1}\) 更优。于是做一个二分后前缀和统计贡献即可。时间复杂度 \(O(n\log^2 n)\)。